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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知表示不小于的最小整数,例如.

27.设,,若,求实数的取值范围;

28.设在区间上的值域为,集合中元素的个数为,求证:

29.设),,若对于,都有,求实数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1)

解析

(1)因为在区间上单调递增,

所以

进而的取值集合为

由已知可知上有解,因此,

考查方向

本题主要考查函数的性质,能成立问题、极限的求法等知识,意在考查考生的分析问题、解决问题,转化与划归的能力。

解题思路

根据函数的单调性求出的取值集合为,进而可得到答案;

易错点

1.错将能成立问题转化为恒成立问题处理;2.对于题中出现的字母太多导致无法入手。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(2)略;

解析

(2)当时,

所以的取值范围为区间

进而上函数值的个数为个,

由于区间没有共同的元素,

所以中元素个数为,得

因此,

考查方向

本题主要考查函数的性质,能成立问题、极限的求法等知识,意在考查考生的分析问题、解决问题,转化与划归的能力。

解题思路

先根据题意确定,然后带入求出极限;

易错点

1.错将能成立问题转化为恒成立问题处理;2.对于题中出现的字母太多导致无法入手。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(3)由于

所以,并且当时取等号,

进而时,

由题意对任意恒成立.

恒成立,因为,所以

恒成立,因为,所以

综上,实数的取值范围为 .

考查方向

本题主要考查函数的性质,能成立问题、极限的求法等知识,意在考查考生的分析问题、解决问题,转化与划归的能力。

解题思路

先求出   ,进而分类确定a的取值范围。

易错点

1.错将能成立问题转化为恒成立问题处理;2.对于题中出现的字母太多导致无法入手。

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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

10.已知,函数设函数的最大值为,最小值为,则 (     ).

A

B

C

D

正确答案

A

解析

为奇函数,所以

所以

考查方向

本题主要考查函数的奇偶性、对数的运算性质等知识,意在考查考生的运算求解能力和转化能力。

解题思路

1.先将函数化简为两个奇函数和一个常数函数的和的形式;2.利用奇函数在对称的区间上单调性相同得到后即可得到

易错点

1.不知道将函数转化为若干奇函数的和的形式,导致无法处理题中给出的函数;2.不知道是奇函数,导致找不到解决问题的突破点。

知识点

函数单调性的判断与证明函数性质的综合应用导数的几何意义
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

15.对于函数给出定义:

是函数的导数,是函数的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.

某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数,请你根据上面探究结果,计算=                .

正确答案

2016

解析

,,,得.

,所以的“拐点”即对称中心为,所以.

两式相加得.

考查方向

本题主要考查给定信息的处理能力,导数, 函数的对称性,倒序相加求和等知识,意在考查考生理解问题解决问题的能力.

解题思路

1.先根据题中给出的信息求出的拐点;2.根据倒序相加法求出所求的式子的值。

易错点

1.不理解题中给出的新概念拐点是什么导致无法入手;2.不会根据对称中心转化为倒序相加求和。

知识点

函数性质的综合应用数列与函数的综合
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知函数.

27. 判断函数上的单调性;

28. 若恒成立, 求整数的最大值;

29.求证:.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1)上是减函数;

解析

(Ⅰ)

 上是减函数

考查方向

本题主要考查函数的单调性,函数的最值,恒成立问题的转化,构造新函数,证明不等式等知识,意在考查考生综合解决问题的能力.

解题思路

直接求导后判断出后即可得到答案;

易错点

导后的函数不会变形为,导致不会判断其正负;

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

3;

解析

(Ⅱ),即的最小值大于.

,则上单调递增,

 ,存在唯一实根, 且满足

时,时,

,故正整数的最大值是3

考查方向

本题主要考查函数的单调性,函数的最值,恒成立问题的转化,构造新函数,证明不等式等知识,意在考查考生综合解决问题的能力.

解题思路

先分离参数后变为,下面求函数的最小值即可;

易错点

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

(3)略

解析

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,∴-

, 则

考查方向

本题主要考查函数的单调性,函数的最值,恒成立问题的转化,构造新函数,证明不等式等知识,意在考查考生综合解决问题的能力.

解题思路

根据第(2)问放缩,然后构造题中给出的不等式即可。

易错点

不会利用放缩法得到,进而导致没有思路求第(3)问。

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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

12. 形如的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字,故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数有最小值,则当的值分别为方程

中的时的“囧函数”与函数的图像交点个数为(    ).

A

B

C

D

正确答案

C

解析

 ,则复合函数,

,当是增函数,时有最小值,

所以  ; 

所以 ,这时“囧函数”为它与函数与函数

在同一坐标系内的图象如图所示,图像交点个数为4 ,选C

考查方向

本题主要考查复合函数的单调性、圆的方程等知识,意在考查考生处理信息的能力和转化与化归的能力。

解题思路

1.先根据有最小值求出

2.根据“囧函数”的概念求出

3.在同一个坐标系下做出与函数与函数的图象即可得到答案。

易错点

1.不理解题中给出的“囧函数”的概念;

2.不会处理复合函数函数导致a的范围求不出来。

知识点

函数性质的综合应用函数图象的应用
下一知识点 : 函数的值
百度题库 > 高考 > 理科数学 > 函数性质的综合应用

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