函数性质的综合应用_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知表示不小于的最小整数，例如.

27.设,,若，求实数的取值范围；

28.设，在区间上的值域为，集合中元素的个数为，求证：；

29.设（），，若对于，都有，求实数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1），

解析

（1）因为在区间上单调递增，

所以

进而的取值集合为

由已知可知在上有解，因此，

考查方向

本题主要考查函数的性质，能成立问题、极限的求法等知识，意在考查考生的分析问题、解决问题，转化与划归的能力。

解题思路

根据函数的单调性求出的取值集合为，进而可得到答案；

易错点

1.错将能成立问题转化为恒成立问题处理；2.对于题中出现的字母太多导致无法入手。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）略；

解析

（2）当时，，

所以的取值范围为区间

进而在上函数值的个数为个，

由于区间与没有共同的元素，

所以中元素个数为，得

因此，

考查方向

本题主要考查函数的性质，能成立问题、极限的求法等知识，意在考查考生的分析问题、解决问题，转化与划归的能力。

解题思路

先根据题意确定，然后带入求出极限；

易错点

1.错将能成立问题转化为恒成立问题处理；2.对于题中出现的字母太多导致无法入手。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（3）由于，

所以，并且当时取等号，

进而时，

由题意对任意，恒成立.

当，恒成立，因为，所以

综上，实数的取值范围为 .

考查方向

本题主要考查函数的性质，能成立问题、极限的求法等知识，意在考查考生的分析问题、解决问题，转化与划归的能力。

解题思路

先求出，进而分类确定a的取值范围。

易错点

1.错将能成立问题转化为恒成立问题处理；2.对于题中出现的字母太多导致无法入手。

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10．已知且，函数设函数的最大值为,最小值为,则 ( )．

A

B

C

D

正确答案

A

解析

设则为奇函数，所以

所以

考查方向

本题主要考查函数的奇偶性、对数的运算性质等知识，意在考查考生的运算求解能力和转化能力。

解题思路

1.先将函数化简为两个奇函数和一个常数函数的和的形式；2.利用奇函数在对称的区间上单调性相同得到后即可得到。

易错点

1.不知道将函数转化为若干奇函数的和的形式，导致无法处理题中给出的函数；2.不知道是奇函数，导致找不到解决问题的突破点。

知识点

函数单调性的判断与证明函数性质的综合应用导数的几何意义

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15．对于函数给出定义：

设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.

某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，计算= .

正确答案

2016

解析

,,,得.

,所以的“拐点”即对称中心为，所以.

设，

则，

两式相加得.

考查方向

本题主要考查给定信息的处理能力，导数, 函数的对称性，倒序相加求和等知识，意在考查考生理解问题解决问题的能力.

解题思路

1.先根据题中给出的信息求出的拐点；2.根据倒序相加法求出所求的式子的值。

易错点

1.不理解题中给出的新概念拐点是什么导致无法入手；2.不会根据对称中心转化为倒序相加求和。

知识点

函数性质的综合应用数列与函数的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知函数.

27. 判断函数在上的单调性；

28. 若恒成立, 求整数的最大值；

29.求证：.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）上是减函数；

解析

（Ⅰ）

上是减函数

考查方向

本题主要考查函数的单调性，函数的最值，恒成立问题的转化，构造新函数，证明不等式等知识，意在考查考生综合解决问题的能力.

解题思路

直接求导后判断出后即可得到答案；

易错点

导后的函数不会变形为，导致不会判断其正负；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

3；

解析

（Ⅱ），即的最小值大于.

令，则上单调递增,

又，存在唯一实根, 且满足

，

当时，当时，

∴，故正整数的最大值是3

考查方向

本题主要考查函数的单调性，函数的最值，恒成立问题的转化，构造新函数，证明不等式等知识，意在考查考生综合解决问题的能力.

解题思路

先分离参数后变为，下面求函数的最小值即可；

易错点

无

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（3）略

解析

（Ⅲ）由(Ⅱ)知，∴-

令, 则

∴

考查方向

本题主要考查函数的单调性，函数的最值，恒成立问题的转化，构造新函数，证明不等式等知识，意在考查考生综合解决问题的能力.

解题思路

根据第（2）问放缩，然后构造题中给出的不等式即可。

易错点

不会利用放缩法得到，进而导致没有思路求第（3）问。

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

12. 形如的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数有最小值，则当的值分别为方程

中的时的“囧函数”与函数的图像交点个数为（）．

A

B

C

D

正确答案

C

解析

令，则是与复合函数，

，当是增函数，时有最小值，

所以；，

所以，这时“囧函数”为它与函数与函数

在同一坐标系内的图象如图所示，图像交点个数为4 ，选C

考查方向

本题主要考查复合函数的单调性、圆的方程等知识，意在考查考生处理信息的能力和转化与化归的能力。

解题思路

1.先根据有最小值求出；

2.根据“囧函数”的概念求出

3.在同一个坐标系下做出与函数与函数的图象即可得到答案。

易错点

1.不理解题中给出的“囧函数”的概念；

2.不会处理复合函数函数导致a的范围求不出来。

知识点

函数性质的综合应用函数图象的应用

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