函数性质的综合应用_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知函数．

26.当时，求函数的单调递减区间；

27.当时，设函数. 若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

当时，的单调递减区间为,；

当时，的单调递减区间为；

当时，的单调递减区间为,.

解析

的定义域为，

①当时，. 由得或. ∴当，时，单调递减. ∴的单调递减区间为,.

②当时，恒有，∴单调递减. ∴的单调递减区间为.

③当时，. 由得或.∴当，时，单调递减. ∴的单调递减区间为,.

综上，当时，的单调递减区间为,；

当时，的单调递减区间为；

当时，的单调递减区间为,.

考查方向

通过函数的导数来研究函数的单调性、最值以及极值等知识，考查考生分解因式、熟练解不等式以及综合运算求解能力，同时也考查了数学中的分类讨论思想、等价转化思想。是近几年的高频考点，也是高考中函数与导数必不可少的内容。

解题思路

解题步骤如下：先求函数的导数，根据导函数的正负来讨论原函数的单调性，但是要讨论的取值范围。

易错点

本题易在分类讨论和解含参数的不等式时发生错误。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

的取值范围为

解析

在上有零点，

即关于的方程在上有两个不相等的实数根.

令函数.则.

令函数. 则在

上有. 故在上单调递增.

，当时，有即.∴单调递减；

当时，有即，∴单调递增.

，，

的取值范围为

考查方向

通过函数的导数来研究函数的单调性、最值以及极值等知识，考查考生分解因式、熟练解不等式以及综合运算求解能力，同时也考查了数学中的分类讨论思想、等价转化思想。是近几年的高频考点，也是高考中函数与导数必不可少的内容。

解题思路

解题步骤如下：要证有2个零点, 只需证明关于的方程，在上有两个不相等的实数根，那么就需要构造函数，讨论其单调性，得到取值范围，从而得出结论。

易错点

本题不容易构造函数，讨论其单调性，求其范围，导致题目无法进行。

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知函数．

26.当时，求函数的单调递减区间；

27.当时，设函数. 若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

当时，的单调递减区间为,；

当时，的单调递减区间为；

当时，的单调递减区间为,.

解析

【解析】的定义域为，

①当时，.由得或. ∴ 当，时，单调递减. ∴的单调递减区间为,.

② 当时，恒有，∴单调递减. ∴的单调递减区间为.

③ 当时，.由得或. ∴当，时，单调递减. ∴的单调递减区间为,.

综上，当时，的单调递减区间为,；

当时，的单调递减区间为；

当时，的单调递减区间为,

考查方向

通过函数的导数来研究函数的单调性、最值以及极值等知识，考查考生分解因式、熟练解不等式以及综合运算求解能力，同时也考查了数学中的分类讨论思想、等价转化思想。是近几年的高频考点，也是高考中函数与导数必不可少的内容。

解题思路

解题步骤如下：先求函数的导数，根据导函数的正负来讨论原函数的单调性，注意讨论的取值范围。

易错点

本题易在分类讨论和解含参数的不等式时发生错误。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

的取值范围为

解析

当时，，，.

当时，，∴在上单调递增.

又在上恒成立. 在上单调递增.

由题意，得

原问题转化为关于的方程在上有两个不相等的实数根. ……9分

即方程在上有两个不相等的实数根.

令函数.则.

令函数.则在上有.

故在上单调递增.

，当时，有即.∴单调递减；

当时，有即，∴单调递增.

，，

的取值范围为

考查方向

通过函数的导数来研究函数的单调性、最值以及极值等知识，考查考生分解因式、熟练解不等式以及综合运算求解能力，同时也考查了数学中的分类讨论思想、等价转化思想。是近几年的高频考点，也是高考中函数与导数必不可少的内容。

解题思路

解题步骤如下：根据函数在上的值域为，把原问题转化为关于的方程在上有两个不相等的实数根. 只需证明关于的方程，在上有两个不相等的实数根，那么就需要构造函数，讨论其单调性，得到其取值范围，从而得出结论。

易错点

本题不容易构造函数，讨论其单调性，求其范围，导致题目无法进行。

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

12.已知函数,,则的取值范围为（）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

(1).当m=0，n=0时，f(x)=，f(x)=0，所以{x| f(x)=0}={0}；f(f(x))=，{x| f(f(x))=0 }={0}，符合题意，所以排除答案A、D.

(2).当m=0，n0时，f(x)=+nx，{x| f(x)=0}={0，-n}；令f(x)=0，解得；令f(x)=，即+nx+n=0，(*)，①若(*)无解，0，{x| f(f(x))=0 }={0，-4，-2}，不符合题意，所以m+n，所以排除答案C.所以选项为B.

考查方向

考查函数的综合性质，具体考查函数的零点，函数的图象，复合函数的零点

解题思路

根据函数的特点，从特殊值入手，(1).当m=0，n=0；当m=0，n0时，时，进行合理讨论，逐一排除。

易错点

不理解{x| f(x)=0}={x| f(f(x))=0 }，导致问题无法切入。

知识点

函数性质的综合应用导数的几何意义

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数.

25.若时，恒成立，求的取值范围；

26.若时，令求证：

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

m=0

解析

当时，，欲使即恒成立，

只要满足对恒成立即可.

对于，即令则所以函数在内单调递增，在内单调递减.而所以.

对于即,令,

则令则

所以在内单调递减,则从而

所以在内单调递减,则且当时,,所以.

综上所述可得:.

考查方向

考查函数的导数的应用

解题思路

利用条件，将不等式恒成立问题转化成只要满足对恒成立，构造新函数，利用导数解决函数的最值，从而证明不等式恒成立

易错点

利用导数在处理单调区间及分类讨论上容易出错；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

证明见解析

解析

下面用数学归纳法证明

(1)当时,,所以所以,当时命题成立

(2)假设时命题成立,即要证明时命题成立,即证明

只需证明即证明由当时,易证,所以所以函数在区间上为增函数. 可证明函数在上为增函数,

由归纳假设得所以

若则必有,故现在证明

构造函数则

,易证,所以函数在上为增函数,

故即则

由‚及题意知，即.

综合知:对任意的都有成立

考查方向

考查函数、数列、不等式之间的关系，数学归纳法

解题思路

用分析法，从结论入手，考虑由于与正整数有关，可以用数学归纳法证明，在证明假设n=k,将转化为所以考虑从函数的导数切入，函数f(x)在区间(1.+)上为增函数.利用题中假设，由归纳假设得所以若则必有,故现在证明原函数易证在(1,+为增函数，再由题中的假设，再构造新函数得到通过推理得出，综上得证。

易错点

不容易考虑到用数学归纳法证明

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知函数．

23.求函数的单调区间；

24.当时，都有成立，求的取值范围；

25.试问过点可作多少条直线与曲线相切？并说明理由．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）当时，函数的单调递增区间为．当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

解析

试题分析：本题属于导数应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）利用导函数对分类求出单调区间；（2）要灵活运用“恒成立问题”解决的方法研究问题。（3）根据题意设出切点，再利用切点在曲线上构造方程去研究方程根的个数即切线条数。

（Ⅰ）函数的定义域为．．

（1）当时，恒成立，函数在上单调递增；

考查方向

本题考查了利用导数研究 “过点问题”的切线方程求法，考查了导数综合运用中的“恒成立问题”，还考查了分类讨论、数形结合等数学思想方法的灵活应用，意在训练考生的运算能力，分析问题和解决问题的能力，较难。

解题思路

本题考查导数的性质及其应用，解题步骤如下：

求出原函数的导函数，对分类求出的单调区间。第二问利用第一问的结论对分类求出在上的最小值，再根据恒成立问题完成结论。第三问属于“过点问题”，设切点为，再利用切点的特点得到，再把求切线方程条数问题转化为求方程的根的问题，最终构造函数模型完成即可。

易错点

第一问在对分类讨论求单调区间时由于比较繁琐而易出现错误。

第三问在利用导数研究 “过点问题”的切线方程求法上易出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

时，函数在区间上恒大于零；（3）当时，过点P存在两条切线；当时，不存在过点P的切线。

解析

试题分析：本题属于导数应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）利用导函数对分类求出单调区间；（2）要灵活运用“恒成立问题”解决的方法研究问题。（3）根据题意设出切点，再利用切点在曲线上构造方程去研究方程根的个数即切线条数。

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

（1）当时，即时，函数在区间上为增函数，

所以在区间上，，显然函数在区间上恒大于零；

（2）当时，即时，函数在上为减函数，在

上为增函数，所以．

依题意有，解得，所以．

（3）当时，即时，在区间上为减函数，

所以．

依题意有，解得，所以．

综上所述，当时，函数在区间上恒大于零．………………8分

考查方向

本题考查了利用导数研究 “过点问题”的切线方程求法，考查了导数综合运用中的“恒成立问题”，还考查了分类讨论、数形结合等数学思想方法的灵活应用，意在训练考生的运算能力，分析问题和解决问题的能力，较难。

解题思路

本题考查导数的性质及其应用，解题步骤如下：

求出原函数的导函数，对分类求出的单调区间。第二问利用第一问的结论对分类求出在上的最小值，再根据恒成立问题完成结论。第三问属于“过点问题”，设切点为，再利用切点的特点得到，再把求切线方程条数问题转化为求方程的根的问题，最终构造函数模型完成即可。

易错点

第一问在对分类讨论求单调区间时由于比较繁琐而易出现错误。

第三问在利用导数研究 “过点问题”的切线方程求法上易出错。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

当时，过点P存在两条切线；当时，不存在过点P的切线。

解析

试题分析：本题属于导数应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）利用导函数对分类求出单调区间；（2）要灵活运用“恒成立问题”解决的方法研究问题。（3）根据题意设出切点，再利用切点在曲线上构造方程去研究方程根的个数即切线条数。

（Ⅲ）设切点为，则切线斜率，

切线方程为．

因为切线过点，则，即．……①

令，则．

（1）当时，在区间上，，单调递增；

在区间上，，单调递减，

所以函数的最大值为．

故方程无解，即不存在满足①式．

因此当时，切线的条数为．

（2）当时, 在区间上，，单调递减，

在区间上，，单调递增，

所以函数的最小值为．

取，则．

故在上存在唯一零点．

取，则．

设，，则．

当时，恒成立．

所以在单调递增，恒成立．所以．

故在上存在唯一零点．

因此当时，过点P存在两条切线．

（3）当时，，显然不存在过点P的切线．

综上所述，当时，过点P存在两条切线；

当时，不存在过点P的切线．…………………………………………………13分

考查方向

本题考查了利用导数研究 “过点问题”的切线方程求法，考查了导数综合运用中的“恒成立问题”，还考查了分类讨论、数形结合等数学思想方法的灵活应用，意在训练考生的运算能力，分析问题和解决问题的能力，较难。

解题思路

本题考查导数的性质及其应用，解题步骤如下：

求出原函数的导函数，对分类求出的单调区间。第二问利用第一问的结论对分类求出在上的最小值，再根据恒成立问题完成结论。第三问属于“过点问题”，设切点为，再利用切点的特点得到，再把求切线方程条数问题转化为求方程的根的问题，最终构造函数模型完成即可。

易错点

第一问在对分类讨论求单调区间时由于比较繁琐而易出现错误。

第三问在利用导数研究 “过点问题”的切线方程求法上易出错。

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