- 两角和与差的三角函数及三角恒等变换
- 共11991题
已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,=(1,1-
sinB),
=(cosB,1)且
⊥
,
(1)求角B;
(2)若a+c=b,判断△ABC的形状.
正确答案
解:(1)∵⊥
,
∴•
=0即有
∴
B∈(0,π)∴
∴,∴
(2)∵,∴
∵,∴
得
∴∴
∴
当时,此时C=
,△ABC为直角三角形;
当时,△ABC为直角三角形.
解析
解:(1)∵⊥
,
∴•
=0即有
∴
B∈(0,π)∴
∴,∴
(2)∵,∴
∵,∴
得
∴∴
∴
当时,此时C=
,△ABC为直角三角形;
当时,△ABC为直角三角形.
关于函数f(x)=cos(2x-)+cos(2x+
)有下列命题:
①y=f(x)的最大值为;
②点(,0)是y=f(x)的图象的一个对称中心;
③y=f(x)在区间(,
)上单调递减;
④将函数y=cos2x的图象向左平移
个单位后,将与已知函数f(x)的图象重合.
其中正确命题的序号是______.(把你认为正确的命题的序号都填上)
正确答案
①③
解析
解:∵(2x+)-(2x-
)=
,
∴(2x-)=-
+(2x+
),
则cos(2x-)=sin(2x+
),
∴f(x)=cos(2x+)+cos(2x+
)=sin(2x+
)+cos(2x+
)
=sin(2x+
+
)=
sin(2x+
),
①y=f(x)的最大值为,①正确;
②当x=时,2x+
=
≠kπ(k∈Z),②不正确;
③当x∈()时,
∈(
),③正确;
④函数y=cos2x的图象向左平移
个单位后,得到函数y=
cos(2x+
),④不正确,
∴正确的命题是①③,
故答案为:①③.
设函数f(x)=cos(2x+)+
sin2x+2a
(1)求函数f(x)的单调递增区间
(2)当0≤x≤时,f(x)的最小值为0,求a的值.
正确答案
解:(Ⅰ)化简可得f (x)=cos2x-
sin2x+
sin2x+2a
=cos2x+
sin2x+2a=sin(2x+
)+2a.
由2kπ-≤2x+
≤2kπ+
解得kπ-
≤x≤kπ+
(k∈Z).
∴f (x)的单调递增区间为:[kπ-,kπ+
](k∈Z).
(Ⅱ)∵0≤x≤,∴
≤2x+
≤
,
∴≤sin(2x+
)≤1.
由f (x)的最小值为0得+2a=0.
解得a=-.
解析
解:(Ⅰ)化简可得f (x)=cos2x-
sin2x+
sin2x+2a
=cos2x+
sin2x+2a=sin(2x+
)+2a.
由2kπ-≤2x+
≤2kπ+
解得kπ-
≤x≤kπ+
(k∈Z).
∴f (x)的单调递增区间为:[kπ-,kπ+
](k∈Z).
(Ⅱ)∵0≤x≤,∴
≤2x+
≤
,
∴≤sin(2x+
)≤1.
由f (x)的最小值为0得+2a=0.
解得a=-.
已知向量=(1,1),
=(1,0),<
,
>=
且
=-1;若△ABC的内角A,B,C依次成等差数列,且A≤B≤C;
(1)若关于x的方程sin(2x+ )=
在[0,B]上有相异实根,求实数m的取值范围;
(2)若向量=(cosA,2cos2
),试求|
|的取值范围.
正确答案
解:(1)∵2B=A+C 且A+B+C=π,∴B=. 令y=sin(2x+
),x∈[0,
],则 2x+
∈[
,π],∴
.
∵关于x的方程sin(2x+ )=
在[0,
]上有相异实根,所以y=sin(2x+
)
),即
∈
所以.
(2)令=(x,y),∵
=(1,1),
=-1,所以x+y=-1.
又=(1,0),<
,
>=
,所以
=0,即x=0,故y=-1,
所以=(0,-1),
=(cosA,2cos2
)=(cosA,1+cosC).
所以||2=cos2A+cos2C=cos2A+cos2(
A)=1+
cos(2A+
).
由A∈(0,,得2A+
∈(
,π],得cos(2A+
)∈[-1,
),
∴||2∈[
,
),故|
|∈[
).
解析
解:(1)∵2B=A+C 且A+B+C=π,∴B=. 令y=sin(2x+
),x∈[0,
],则 2x+
∈[
,π],∴
.
∵关于x的方程sin(2x+ )=
在[0,
]上有相异实根,所以y=sin(2x+
)
),即
∈
所以.
(2)令=(x,y),∵
=(1,1),
=-1,所以x+y=-1.
又=(1,0),<
,
>=
,所以
=0,即x=0,故y=-1,
所以=(0,-1),
=(cosA,2cos2
)=(cosA,1+cosC).
所以||2=cos2A+cos2C=cos2A+cos2(
A)=1+
cos(2A+
).
由A∈(0,,得2A+
∈(
,π],得cos(2A+
)∈[-1,
),
∴||2∈[
,
),故|
|∈[
).
若M为△ABC所在平面内一点,且满足,
,则△ABC的形状为( )
正确答案
解析
解:∵
∴,可得|
|=|
|
由此可得△MBC中MB=MC,△MBC是等腰三角形
又∵,可得
∴结合,得
•
=0
由此可得BC所在直线与AM所在直线互相垂直,
∵AM与等腰△BMC的底边中线ME在一条直线上,
∴AM是BC的垂直平分线,可得AB=AC,得△ABC是等腰三角形
又∵,∴△ABC不是等边三角形
故选:B
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