两角和与差的三角函数及三角恒等变换
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两角和与差的三角函数及三角恒等变换
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题型：简答题

简答题

已知将函数y=cos2-sin2+2sincos的图象上所有点向左平移个单位，再把所得的图象上所有点得横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数f（x）的图象．

（I）求函数f（x）的表达式及f（x）的最小正周期；

（II）求f（x）的单调递减区间及f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．

正确答案

解：（I）由三角函数的运算公式可得：y=cos2-sin2+2sincos

=cosx+sinx=2（cosxsinx）=2sin（x+），

由图象变换的知识可得将上述函数图象向左平移个单位，横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），

所得函数为：f（x）=2sin（2x），故其周期为：T==π；

（II）由2kπ2kπ+，得f（x）=2sin（2x）的递减区间为：

[kπ+，kπ+]（k∈Z），又∵x∈[0，]，∴2x∈[，]，

∴sin（2x）∈[，1]，

所以当x=时，f（x）取得最小值，当x=时，f（x）取得最大值2

解析

解：（I）由三角函数的运算公式可得：y=cos2-sin2+2sincos

=cosx+sinx=2（cosxsinx）=2sin（x+），

由图象变换的知识可得将上述函数图象向左平移个单位，横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），

所得函数为：f（x）=2sin（2x），故其周期为：T==π；

（II）由2kπ2kπ+，得f（x）=2sin（2x）的递减区间为：

[kπ+，kπ+]（k∈Z），又∵x∈[0，]，∴2x∈[，]，

∴sin（2x）∈[，1]，

所以当x=时，f（x）取得最小值，当x=时，f（x）取得最大值2

题型：单选题

单选题

若cosα+sinα=，则的值为（　　）

C-

D-

正确答案

解析

解：=

=-=-×=-，

故选C．

题型：填空题

填空题

已知，则的值等于______．

正确答案

解析

解：∵sinα=-cosα，即sinα+cosα=，

∴==

==．

故答案为：

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=cos2（x+），g（x）=1+sin2x．

（1）设x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（2x0）的值；

（2）求函数h（x）=f（x）+g（x），x∈[0，]的值域．

正确答案

解：（1）f（x）=cos2（x+）=，

∵x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，

∴2x0+=kπ（k∈Z），∴2x0=kπ-（k∈Z），

∴g（2x0）=1+sin4x0=1+sin（-）=．

（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=+1+sin2x=+（cos2x+sin2x）=+sin（2x+），

∴x∈[0，]⇒2x+∈[，]，

∴sin（2x+）∈[]，

∴h（x）=+sin（2x+）∈[，2]．

解析

解：（1）f（x）=cos2（x+）=，

∵x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，

∴2x0+=kπ（k∈Z），∴2x0=kπ-（k∈Z），

∴g（2x0）=1+sin4x0=1+sin（-）=．

（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=+1+sin2x=+（cos2x+sin2x）=+sin（2x+），

∴x∈[0，]⇒2x+∈[，]，

∴sin（2x+）∈[]，

∴h（x）=+sin（2x+）∈[，2]．

题型：单选题

单选题

已知tanx=-，则tan2x=（　　）

B-

C-

正确答案

解析

解：∵tanx=-，

∴tan2x===-，

故选：C．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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