- 两角和与差的三角函数及三角恒等变换
- 共11991题
△ABC中，已知（a+b）：（b+c）：（c+a）=6：4：5，给出下列结论：
①这个三角形被唯一确定
②△ABC是钝角三角形
③sinA：sinB：sinC=7：5：3
其中正确结论的序号是______．
正确答案
②③
解析
解：由已知可设b+c=4k，c+a=5k，a+b=6k（k＞0），
则a=
∴sinA：sinB：sinC=7：5：3，∴③正确；
同时由于△ABC边长不确定，故①错；
又cosA=
故答案为 ②③．
△ABC中，若b2tanA=a2tanB，则△ABC为______三角形．
正确答案
等腰或直角
解析
解：∵△ABC中，b2tanA=a2tanB，
∴由正弦定理得：
∴
∴
∴A=B或2A=π-2B，
∴A=B或A+B=
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
故答案为：等腰或直角．
已知AD是△ABC中BC边上的高，若AD2=BD•CD，则△ABC的形状是______．
正确答案
直角三角形或钝角三角形
解析
解：（1）若点D在线段BC上，如图（1）所示
∵AD2=BD•CD，可得
∴Rt△ABD∽Rt△CAD，可得∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠BAD+∠B=90°
因此，△ABC是直角三角形
（2）若点D在线段BC延长线上，如图（2）所示
由（1）知仍然可证出Rt△ABD∽Rt△CAD，但此时△ABC是钝角三角形
综上所述，△ABC是直角三角形或钝角三角形
故答案为：直角三角形或钝角三角形
求使得sin4xsin2x-sinxsin3x=a在[0，π）有唯一解的a．
正确答案
解：令 f（x）=sin4xsin2x-sinxsin3x=
则有f′（x）=3sin6x-2sin4x，令f′（x）=0，可得x=0 或 x=
即f′（0）=0，f′（
由于f′（x）在x=0的左侧小于0，右侧大于0，故f（0）是函数的极小值，
由于f′（x）在x=
同理可得f（π）=0是函数的极小值．
故函数 f（x）在[0，π）上只有一个极大值是f（
故当a=1或0时，函数f（x）=sin4xsin2x-sinxsin3x 和函数y=a只有一个交点．
即sin4xsin2x-sinxsin3x=a在[0，π）有唯一解．
解析
解：令 f（x）=sin4xsin2x-sinxsin3x=
则有f′（x）=3sin6x-2sin4x，令f′（x）=0，可得x=0 或 x=
即f′（0）=0，f′（
由于f′（x）在x=0的左侧小于0，右侧大于0，故f（0）是函数的极小值，
由于f′（x）在x=
同理可得f（π）=0是函数的极小值．
故函数 f（x）在[0，π）上只有一个极大值是f（
故当a=1或0时，函数f（x）=sin4xsin2x-sinxsin3x 和函数y=a只有一个交点．
即sin4xsin2x-sinxsin3x=a在[0，π）有唯一解．
已知a：b：c=3：4：5，试判断三角形的形状．
正确答案
解：∵a：b：c=3：4：5，
∴设a=3t，b=4t，c=5t，（t＞0），
∴a2+b2=c2，∴∠C=90°，
∴三角形为直角三角形
解析
解：∵a：b：c=3：4：5，
∴设a=3t，b=4t，c=5t，（t＞0），
∴a2+b2=c2，∴∠C=90°，
∴三角形为直角三角形
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