两角和与差的三角函数及三角恒等变换
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两角和与差的三角函数及三角恒等变换
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题型：简答题

简答题

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且对∀x∈R，cos（x-A）-cos（x-B）是常数，C=．

（1）求的值；

（2）若边长c=2，解关于x的不等式asinx-bcosx＜2．

正确答案

解：（1）cos（x-A）-cos（x-B）

=cosxcosA+sinxsinB-cosxcosB-sinxsinB

=cosx（cosA-cosB）+sinx（sinA-sinB）．

∵对∀x∈R，cos（x-A）-cos（x-B）是常数，

∴，

∴A=B，

又C=，

∴A=B=．

∴=1．

（2）由（1）可得：a=b=c=2，

∴不等式asinx-bcosx＜2，化为sinx-cosx＜1，

∴，∴．

∴，

解得．

解析

解：（1）cos（x-A）-cos（x-B）

=cosxcosA+sinxsinB-cosxcosB-sinxsinB

=cosx（cosA-cosB）+sinx（sinA-sinB）．

∵对∀x∈R，cos（x-A）-cos（x-B）是常数，

∴，

∴A=B，

又C=，

∴A=B=．

∴=1．

（2）由（1）可得：a=b=c=2，

∴不等式asinx-bcosx＜2，化为sinx-cosx＜1，

∴，∴．

∴，

解得．

题型：简答题

简答题

（2014秋•邹平县校级月考）已知向量=（，-2），=（2sinxcosx，cos2x-），函数f（x）=•．

（Ⅰ）若f（x）=0，求x的值．

（Ⅱ）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的单调递增区间．

正确答案

解：（1）∵=（，-2），=（2sinxcosx，cos2x-），

∴=2sinxcosx-2（cos2x-）

=sin2x-cos2x=2（sin2x-cos2x）=2sin（2x-），

由f（x）=0可得2x-=kπ，解得x=+，k∈Z；

（2）由（1）知f（x）=2sin（2x-），

由可得

又∵x∈[0，π]，∴f（x）的单调递增区间是．

解析

解：（1）∵=（，-2），=（2sinxcosx，cos2x-），

∴=2sinxcosx-2（cos2x-）

=sin2x-cos2x=2（sin2x-cos2x）=2sin（2x-），

由f（x）=0可得2x-=kπ，解得x=+，k∈Z；

（2）由（1）知f（x）=2sin（2x-），

由可得

又∵x∈[0，π]，∴f（x）的单调递增区间是．

题型：填空题

填空题

已知=，则θ=______．

正确答案

2kπ-，或θ=2kπ-，k∈Z．

解析

解：∵=cosθ•sin-sinθ

=-cosθ-sinθ

=-sin（θ+）

=，

∴sin（θ+）=-，

∴θ+=2kπ-，或θ+=2kπ-，k∈Z．

∴θ=2kπ-，或θ=2kπ-，k∈Z．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）．

（1）求函数f（x）的单调增区间；

（2）若0＜α＜，0＜β＜，且f（）=，f（）=，求sin（α-β）的值．

正确答案

解：（1）函数f（x）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）=cos2x-sin2x=cos2x，

令2kπ-π≤2x≤2kπ，求得kπ-≤x≤kπ，k∈z，

故函数的增区间为[kπ-，kπ]，k∈z．

令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ+，k∈z，

故函数的减区间为[kπ，kπ+]，k∈z．

（2）由f（）=，f（）=，可得 cosα=，cosβ=．

再结合 0＜α＜，0＜β＜，可得 sinα=，sinβ=，

∴sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=-=．

解析

解：（1）函数f（x）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）=cos2x-sin2x=cos2x，

令2kπ-π≤2x≤2kπ，求得kπ-≤x≤kπ，k∈z，

故函数的增区间为[kπ-，kπ]，k∈z．

令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ+，k∈z，

故函数的减区间为[kπ，kπ+]，k∈z．

（2）由f（）=，f（）=，可得 cosα=，cosβ=．

再结合 0＜α＜，0＜β＜，可得 sinα=，sinβ=，

∴sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=-=．

题型：单选题

单选题

函数f（x）=sin2x-cos2x的图象（　　）

A关于直线x=对称

B关于直线x=对称

C关于点（，0）对称

D关于点（，0）对称

正确答案

解析

解：由于函数f（x）=sin2x-cos2x=2（sin2x-cos2x）=2sin（2x-），

令 2x-=kπ+，k∈z，可得对称轴方程为 x=+，k∈z．

令 2x-=kπ，k∈z，可得x=+，k∈z，故函数的图象的对称中心为（+，0），k∈z．

故函数的图象关于点（，0）对称，

故选D．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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