两角和与差的三角函数及三角恒等变换
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两角和与差的三角函数及三角恒等变换
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题型：简答题

简答题

已知函数的图象过点M（，0）．

（1）求m的值；

（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ccosB+bcosC=2acosB，求f（A）的取值范围．

正确答案

解：（1）∵sinxcosx=sin2x，cos2x=（1+cos2x）

∴=sin2x-（1+cos2x）+m

=sin2x-cos2x-+m=sin（2x-）-+m

∵函数y=fx）图象过点M（，0），

∴sin（2•-）-+m=0，解之得m=

（2）∵ccosB+bcosC=2acosB，

∴结合正弦定理，得sinCcosB+cosCsinB=2sinAcosB

∵B+C=π-A，得sinCcosB+cosCsinB=sin（B+C）=sin（π-A）=sinA

∴sinA=2sinAcosB

∵△ABC中，sinA＞0，∴cosB=，得B=

由（1），得f（x）=sin（2x-），

所以f（A）=sin（2A-），其中A∈（0，）

∵-＜2A-＜，

∴sin（2A-）＞sin（-）=-，sin（2A-）≤sin=1

因此f（A）的取值范围是（-，1]

解析

解：（1）∵sinxcosx=sin2x，cos2x=（1+cos2x）

∴=sin2x-（1+cos2x）+m

=sin2x-cos2x-+m=sin（2x-）-+m

∵函数y=fx）图象过点M（，0），

∴sin（2•-）-+m=0，解之得m=

（2）∵ccosB+bcosC=2acosB，

∴结合正弦定理，得sinCcosB+cosCsinB=2sinAcosB

∵B+C=π-A，得sinCcosB+cosCsinB=sin（B+C）=sin（π-A）=sinA

∴sinA=2sinAcosB

∵△ABC中，sinA＞0，∴cosB=，得B=

由（1），得f（x）=sin（2x-），

所以f（A）=sin（2A-），其中A∈（0，）

∵-＜2A-＜，

∴sin（2A-）＞sin（-）=-，sin（2A-）≤sin=1

因此f（A）的取值范围是（-，1]

题型：单选题

单选题

下列各式中为恒等式的是（　　）

Asin（x+y）•sin（x-y）=sin2x-sin2y

Bcos（x+y）•cos（x-y）=cos2x-cos2y

Ctan（x+y）•tan（x-y）=tan2x-tan2y

Dcot（x+y）•cot（x-y）=cot2x-cot2y

正确答案

解析

解：A：∵sin（x+y）•sin（x-y）

=-（cos2x-cos2y）

=-[（1-2sin2x）-（1-2sin2y）]

=sin2x-sin2y，故A正确；

B：利用积化和差公式可得cos（x+y）•cos（x-y）

=（cos2x+cos2y）

=[2cos2x-1+2cos2y-1]

=cos2x+cos2y

≠cos2x-cos2y，故B错误；

C：不妨令x=45°，y=30°，

则左端=tan（x+y）•tan（x-y）=tan75°tan15°=1，

右端=tan245°-tan230°=1-=，

∴左端≠右端，故C错误；

D：令x=45°，y=30°，同理可排除D．

故选：A．

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足

（I）求角C的大小；

（II）求函数的最大值，并求取得最大值时x的大小．

正确答案

解：（I）∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足，而且=，

∴c•sinA=a•cosC 变形为：sinCsinA=sinAcosC，

又A为三角形的内角，∴sinA≠0，

∴sinC=cosC，即tanC=，故C=．

（II）∵=sinx+cosx-sinx=sin（+x），，

∴+x∈，故当 +x=，即 x=时，函数f（x）取得最大值为1．

解析

解：（I）∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足，而且=，

∴c•sinA=a•cosC 变形为：sinCsinA=sinAcosC，

又A为三角形的内角，∴sinA≠0，

∴sinC=cosC，即tanC=，故C=．

（II）∵=sinx+cosx-sinx=sin（+x），，

∴+x∈，故当 +x=，即 x=时，函数f（x）取得最大值为1．

题型：填空题

填空题

设f（x）=sin-2cos的一条对称轴为x=θ，则sinθ=______．

正确答案

解析

解：f（x）=sin-2cos

=（sin-cos）

=sin（-φ）．其中cosφ=，sinφ=，对称轴为：-φ=kπ+，k∈Z，

即x=2kπ+π+2φ，k∈Z，

又对称轴为x=θ，

得sinθ=sin（2kπ+π+2φ）=-sin2φ=-2sinφcosφ=-2××=-，

故答案为：-．

题型：填空题

填空题

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．则A=______．

正确答案

60°

解析

解：△ABC中，∵⇒sinAcos+cosAsin-2cosA=0，

∴sinA=cosA，∴tanA=，A=60°，

故答案为：60°．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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