两角和与差的三角函数及三角恒等变换
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题型：简答题

简答题

设函数f（x）=2sin2x+sinxcosx+cos2x

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．

正确答案

解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+sinxcosx+1=sin2x-cos2x+=sin（2x-）+，

∴T==π．

（Ⅱ）∵x∈[0，]，

∴2x-∈[-，]，

∴sin（2x-）∈[-，1]，

∴1≤f（x）≤，

∴函数的最大值为，最小值为1．

解析

解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+sinxcosx+1=sin2x-cos2x+=sin（2x-）+，

∴T==π．

（Ⅱ）∵x∈[0，]，

∴2x-∈[-，]，

∴sin（2x-）∈[-，1]，

∴1≤f（x）≤，

∴函数的最大值为，最小值为1．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．

（Ⅰ）求f（x）的解析式；

（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，c=2asin（A+B），f（）=-1，试判断△ABC的形状．

正确答案

解：（Ⅰ）由图象可得，A=2，T=（-）×=π，

ω==2，将（，0）代入f（x）=2sin（2x+φ），得sin（+φ）=0，

则+φ=kπ，即φ=kπ-，k∈Z，

由于|φ|＜，则φ=-．

则有f（x）=2sin（2x-）；

（Ⅱ）由正弦定理得，c=2asin（A+B），

即为sinC=2sinAsinC，

即有sinA=，则A=或．

f（）=2sin（B-）=-1，即sin（B-）=-，

又B-∈（-，），即B-=-，B=，

当A=，C=，此时△ABC为直角三角形，

当A=时，B=C=，此时△ABC为等腰三角形．

解析

解：（Ⅰ）由图象可得，A=2，T=（-）×=π，

ω==2，将（，0）代入f（x）=2sin（2x+φ），得sin（+φ）=0，

则+φ=kπ，即φ=kπ-，k∈Z，

由于|φ|＜，则φ=-．

则有f（x）=2sin（2x-）；

（Ⅱ）由正弦定理得，c=2asin（A+B），

即为sinC=2sinAsinC，

即有sinA=，则A=或．

f（）=2sin（B-）=-1，即sin（B-）=-，

又B-∈（-，），即B-=-，B=，

当A=，C=，此时△ABC为直角三角形，

当A=时，B=C=，此时△ABC为等腰三角形．

题型：简答题

简答题

已知sinθ+cosθ=，其中θ是△ABC的一个内角．

（1）求sinθcosθ的值；

（2）判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；

（3）求sinθ-cosθ的值．

正确答案

解：（1）∵sinθ+cosθ=，（sinθ+cosθ）2=，

∴1+2sinθcosθ=，

∴sinθcosθ=-…4分

（2）∵0＜θ＜π，且sinθcosθ＜0，

∴sinθ＞0，cosθ＜0，∴θ为钝角；

∴△ABC是钝角三角形；…8分

（3）∵sinθ＞0，cosθ＜0，

∴sinθ-cosθ===…12分

解析

解：（1）∵sinθ+cosθ=，（sinθ+cosθ）2=，

∴1+2sinθcosθ=，

∴sinθcosθ=-…4分

（2）∵0＜θ＜π，且sinθcosθ＜0，

∴sinθ＞0，cosθ＜0，∴θ为钝角；

∴△ABC是钝角三角形；…8分

（3）∵sinθ＞0，cosθ＜0，

∴sinθ-cosθ===…12分

题型：简答题

简答题

已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a2=b（b+c）．

（1）求证：∠A=2∠B；

（2）若a=b，判断△ABC的形状．

正确答案

（1）证明：a2=b（b+c），

即BC2=AC（AC+AB），

延长CA至D，使AD=AB，连接DB．

则∠BAC=2∠D．

∴BC2=AC•CD，，

又∠C=∠C，

∴△BCA∽△DCB，故∠D=∠ABC．

∴∠BAC=2∠ABC；

（2）解：∵a=b，

∴a2=3b2，

又a2=b（b+c），

∴3b2=b2+bc，c=2b．

∴a2+b2=4b2，

c2=（2b）2=4b2．

即a2+b2=c2．

△ABC为直角三角形．

解析

（1）证明：a2=b（b+c），

即BC2=AC（AC+AB），

延长CA至D，使AD=AB，连接DB．

则∠BAC=2∠D．

∴BC2=AC•CD，，

又∠C=∠C，

∴△BCA∽△DCB，故∠D=∠ABC．

∴∠BAC=2∠ABC；

（2）解：∵a=b，

∴a2=3b2，

又a2=b（b+c），

∴3b2=b2+bc，c=2b．

∴a2+b2=4b2，

c2=（2b）2=4b2．

即a2+b2=c2．

△ABC为直角三角形．

题型：简答题

简答题

已知：关于x的方程2x2-（+1）x+m=0的两根为sinθ和cosθ，θ∈（0，2π）．求：

（1）+的值；

（2）m的值；

（3）方程的两根及此时θ的值．

正确答案

解：（1）由于关于x的方程2x2-（+1）x+m=0的两根为sinθ和cosθ，故有，

∴+=+==sinθ+cosθ=．

（2）由sinθ+cosθ=、sinθcosθ=，∴sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=，即 1+m=，解得 m=．

（3）由以上可得，sinθ+cosθ=、sinθcosθ=，解得 sinθ=，cosθ=；或者 sinθ=，cosθ=．

故此时方程的两个根分别为、，对应θ的值为或．

解析

解：（1）由于关于x的方程2x2-（+1）x+m=0的两根为sinθ和cosθ，故有，

∴+=+==sinθ+cosθ=．

（2）由sinθ+cosθ=、sinθcosθ=，∴sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=，即 1+m=，解得 m=．

（3）由以上可得，sinθ+cosθ=、sinθcosθ=，解得 sinθ=，cosθ=；或者 sinθ=，cosθ=．

故此时方程的两个根分别为、，对应θ的值为或．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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