两角和与差的三角函数及三角恒等变换
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两角和与差的三角函数及三角恒等变换
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题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=（sinx+cosx）2-2cos2x（x∈R）．

（1）求函数f（x）的周期和递增区间；

（2）若函数g（x）=f（x）-m在[0，]上有两个不同的零点x1、x2，求tan（x1+x2）的值．

正确答案

解：（1）∵f（x）=（sinx+cosx）2-2cos2x

=1+2sinxcosx-2cos2x

=sin2x-cos2x

=sin（2x-）（x∈R），

∴函数f（x）的周期T==π，

∵函数y=sinx的单调递增区间为：[2kπ-，2kπ+]，

∴函数f（x）的周递增区间由2kπ-≤2x-≤2kπ+，

化简得：kπ-≤x≤kπ+（k∈Z），即[kπ-，kπ+]（k∈Z）．

（2）∵方程g（x）=f（x）-m=0同解于f（x）=m；

在直角坐标系中画出函数f（x）=sin（2x-）在[0，]上的图象，

由图象可知，当且仅当m∈[1，）时，

方程f（x）=m在[0，]上的区间[，）和（，]有两个不同的解x1、x2，

且x1与x2关于直线x=对称，即=，

∴x1+x2=，

故tan（x1+x2）=tan=-1．

解析

解：（1）∵f（x）=（sinx+cosx）2-2cos2x

=1+2sinxcosx-2cos2x

=sin2x-cos2x

=sin（2x-）（x∈R），

∴函数f（x）的周期T==π，

∵函数y=sinx的单调递增区间为：[2kπ-，2kπ+]，

∴函数f（x）的周递增区间由2kπ-≤2x-≤2kπ+，

化简得：kπ-≤x≤kπ+（k∈Z），即[kπ-，kπ+]（k∈Z）．

（2）∵方程g（x）=f（x）-m=0同解于f（x）=m；

在直角坐标系中画出函数f（x）=sin（2x-）在[0，]上的图象，

由图象可知，当且仅当m∈[1，）时，

方程f（x）=m在[0，]上的区间[，）和（，]有两个不同的解x1、x2，

且x1与x2关于直线x=对称，即=，

∴x1+x2=，

故tan（x1+x2）=tan=-1．

题型：简答题

简答题

已知sin（+x）=-，x∈（-，-）求：

（1）tan2x

（2）的值．

正确答案

解：（1）∵sin（+x）=-，x∈（-，-），

cos（）=，

∴sin[2（）]=2sin（）cos（）

=2×（-）×=-，

∴sin（）=cos2x=-，

∴sin2x=-，

∴tan2x=，

（2）∵tan2x=，

∴tanx=-7或（舍去），

即sinx=-7cosx，

∵sin2x+cos2x=1，

∴sinx=-，

∴=．

故的值为-．

解析

解：（1）∵sin（+x）=-，x∈（-，-），

cos（）=，

∴sin[2（）]=2sin（）cos（）

=2×（-）×=-，

∴sin（）=cos2x=-，

∴sin2x=-，

∴tan2x=，

（2）∵tan2x=，

∴tanx=-7或（舍去），

即sinx=-7cosx，

∵sin2x+cos2x=1，

∴sinx=-，

∴=．

故的值为-．

题型：填空题

填空题

若函数满足：f（x1）=-2，f（x2）=0，且|x1-x2|的最小值为π，则函数f（x）的单调递增区间为______．

正确答案

解析

解：=cosωx-sinωx=-2sin（ωx-）．

因为f（x1）=-2，f（x2）=0，且|x1-x2|的最小值为π，

所以，T=4π．

所以ω==．

所以函数f（x）=-2sin（x-）．

，

解得：x∈．

即函数的单调增区间为：．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=Asinxcosx+Acos2x-（x∈RA为常数且A＞0）的最大值为2．

（1）求f（π）的值；

（2）若sinθ=-，θ∈（-，0），求f（θ+）．

正确答案

解：f（x）=Asinxcosx+Acos2x-=Asin（2x+），

∵A＞0，函数最大值为2，∴A=2，∴f（x）=2sin（2x+）

（1）∴f（π）=2sin（π+）=1

（2）f（θ+）=2sin[2（θ+）+]=2cos2θ=2（1-2sin2θ）=

解析

解：f（x）=Asinxcosx+Acos2x-=Asin（2x+），

∵A＞0，函数最大值为2，∴A=2，∴f（x）=2sin（2x+）

（1）∴f（π）=2sin（π+）=1

（2）f（θ+）=2sin[2（θ+）+]=2cos2θ=2（1-2sin2θ）=

题型：简答题

简答题

已知函数的最小正周期为π．

（1）求f（x）的单调减区间；

（2）若，求的值．

正确答案

解：（1）∵函数=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+），

由f（x）的最小正周期等于π 可得 =1，故ω=1，

∴f（x）=2sin（2x+）．

令 2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得 kπ+≤x≤kπ+，

∴f（x）的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．

（2）若，则 2sin（2θ+）=，

∴sin（2θ+）=．

故 =cos[-]=-cos（4θ+）=2-1=2×-1=-．

解析

解：（1）∵函数=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+），

由f（x）的最小正周期等于π 可得 =1，故ω=1，

∴f（x）=2sin（2x+）．

令 2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得 kπ+≤x≤kπ+，

∴f（x）的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．

（2）若，则 2sin（2θ+）=，

∴sin（2θ+）=．

故 =cos[-]=-cos（4θ+）=2-1=2×-1=-．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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