两角和与差的三角函数及三角恒等变换
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两角和与差的三角函数及三角恒等变换
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题型：单选题

单选题

由下面的条件能得出△ABC为锐角三角形的是（　　）

CcosAcosBcos（A+B）＜0

正确答案

解析

解：由题意，对于A，两边平方得，∴A为钝角；

对于B，，∴A为钝角；

对于C，由cosAcosBcos（A+B）＜0 可得cosAcosBcosC＞0，从而可知三余弦均为正，从而三角形为锐角三角形；

对于D，，C为60°或120°．

故选C．

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（a-b） cosC=c（cosB-cos A）．

（I）判断△ABC的形状；

（II）求y=cosA+sin（B+）的最大值，并求y取得最大值时角C的大小．

正确答案

解：（I）在△ABC中，∵（a-b） cosC=c（cosB-cos A），由正弦定理可得（sinA-sinB） cosC=sinC（cosB-cos A），

化简可得 sin（A+C）=sin（B+C），

∴sinB=sinA，由正弦定理可得 a=b，故△ABC为等腰三角形．

（II）由（I）可得A=B∈（0，），由于 y=cosA+sin（B+）=cosA+A+sinA=+=sin（A+），

故当 A+=，即 A==B时，ymax=，此时，C=π-（A+B）=．

解析

解：（I）在△ABC中，∵（a-b） cosC=c（cosB-cos A），由正弦定理可得（sinA-sinB） cosC=sinC（cosB-cos A），

化简可得 sin（A+C）=sin（B+C），

∴sinB=sinA，由正弦定理可得 a=b，故△ABC为等腰三角形．

（II）由（I）可得A=B∈（0，），由于 y=cosA+sin（B+）=cosA+A+sinA=+=sin（A+），

故当 A+=，即 A==B时，ymax=，此时，C=π-（A+B）=．

题型：单选题

单选题

若非零向量，则△ABC的形状是（　　）

A等边三角形

B等腰三角形

C直角三角形

D等腰直角三角形

正确答案

解析

解：∵非零向量，

∴

∴两边平方可得=

∴=0

∴AB⊥AC

故选C．

题型：简答题

简答题

（1）求的值；

（2）sin50°（1+）．

正确答案

解（1）化简可得

==；

（2）sin50°（1+）

=sin50°

===1

解析

解（1）化简可得

==；

（2）sin50°（1+）

=sin50°

===1

题型：简答题

简答题

在△ABC中，已知tanA，tanB是x的方程x2+p（x+1）+1=0的两个根．

（Ⅰ）求A+B；

（Ⅱ）若α∈[0，π]，且满足sin（α-）=sinC，求α的值．

正确答案

解：（Ⅰ）方程x2+p（x+1）+1=0，即 x2+px+p+1=0．

由条件可知tanA+tanB=-p，tanAtanB=p+1．

所以tan（A+B）===1，∴A+B=．

（Ⅱ）在△ABC中，由 A+B=，可得C=．

因为α∈[0，π]，所以，α-∈[-，]，故由sin（α-）=sinC，

可得sin（α-）=，∴α-=，或α-=，

∴α= 或α=．

解析

解：（Ⅰ）方程x2+p（x+1）+1=0，即 x2+px+p+1=0．

由条件可知tanA+tanB=-p，tanAtanB=p+1．

所以tan（A+B）===1，∴A+B=．

（Ⅱ）在△ABC中，由 A+B=，可得C=．

因为α∈[0，π]，所以，α-∈[-，]，故由sin（α-）=sinC，

可得sin（α-）=，∴α-=，或α-=，

∴α= 或α=．

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