热门试卷

解：（Ⅰ）两角差的余弦公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．

在平面直角坐标系xOy内，以原点O为圆心作单位圆O，以Ox为始边，作角α，β，

设其终边与单位圆的交点分别为A，B，则向量=（cosα，sinα）向量=（cosβ，sinβ），

记两向量的夹角＜，＞=θ为，则cosθ===cosαcosβ+sinαsinβ．

（1）如果α-β∈[0，π]，那么α-β=θ，∴cos（α-β）=cosθ，∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．

（2）如果α-β∉[0，π]，如图，不妨设α=2kπ+β+θ，k∈Z，

所以有cos（α-β）=cos（2kπ+θ）=cosθ，同样有cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．

故答案为：cosαcosβ+sinαsinβ．

（Ⅱ）sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ，

证明如下：把公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ中的α换成α-，

可得cos[（α-）-β]=cos（α-）cosβ+sin（α-）sinβ=cos（-α）cosβ-sin（-α）sinβ=sinαcosβ-cosαsinβ，

即cos[（α-β）-]=sinαcosβ-cosαsinβ，即sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ，

故答案为：sinαcosβ-cosαsinβ．