两角和与差的三角函数及三角恒等变换
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两角和与差的三角函数及三角恒等变换
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题型：简答题

简答题

已知向量=（2sin（ωx+），2），=（2cosωx，0）（ω＞0），函数f（x）=•的图象与直线的相邻两个交点之间的距离为π．

（Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间．

正确答案

解：（Ⅰ）f（x）=4sin（ωx+）cosωx

=4[sinωx•（-）+cosωx•]cosωx

=2cos2ωx-2sinωxcosωx

=（1+cos2ωx）-sin2ωx

=2cos（2ωx+）+，

由题意，T=π，ω＞0，

∴=π，ω=1．

（Ⅱ）∵f（x）=2cos（2x+）+，

∴x∈[0，2π]时，2x+∈[，]，

∴2x+∈[π，2π]或2x+∈[3π，4π]时，f（x）单调递增，

解得x∈[，]或[，]，

∴f（x）的单调增区间为[，]和[，]．

解析

解：（Ⅰ）f（x）=4sin（ωx+）cosωx

=4[sinωx•（-）+cosωx•]cosωx

=2cos2ωx-2sinωxcosωx

=（1+cos2ωx）-sin2ωx

=2cos（2ωx+）+，

由题意，T=π，ω＞0，

∴=π，ω=1．

（Ⅱ）∵f（x）=2cos（2x+）+，

∴x∈[0，2π]时，2x+∈[，]，

∴2x+∈[π，2π]或2x+∈[3π，4π]时，f（x）单调递增，

解得x∈[，]或[，]，

∴f（x）的单调增区间为[，]和[，]．

题型：简答题

简答题

已知sin（π-x）=，求cos2x．

正确答案

解：∵sin（π-x）=sinx=，∴cos2x=1-2sin2x=1-2×=-．

解析

解：∵sin（π-x）=sinx=，∴cos2x=1-2sin2x=1-2×=-．

题型：简答题

简答题

已知α+β∈（0，），且cos（α+β）=，sin（β-）=，求cos（+α）的值．

正确答案

解：∵α+β∈（0，），且cos（α+β）=，∴sin（α+β）=．

又 sin（β-）=，故cos（β-）=±，

故当cos（β-）=时，

cos（+α）=cos[（α+β）-（β-）]=cos（α+β）cos（β-）+sin（α+β）sin（β-）=+=．

当cos（β-）=-时，

cos（+α）=cos[（α+β）-（β-）]=cos（α+β）cos（β-）+sin（α+β）sin（β-）=+=-．

解析

解：∵α+β∈（0，），且cos（α+β）=，∴sin（α+β）=．

又 sin（β-）=，故cos（β-）=±，

故当cos（β-）=时，

cos（+α）=cos[（α+β）-（β-）]=cos（α+β）cos（β-）+sin（α+β）sin（β-）=+=．

当cos（β-）=-时，

cos（+α）=cos[（α+β）-（β-）]=cos（α+β）cos（β-）+sin（α+β）sin（β-）=+=-．

题型：简答题

简答题

已知sinθ=，θ是第二象限角，求cos（θ-）的值．

正确答案

解：由于sinθ=，θ是第二象限角，则cosθ=-=-，

则cos（θ-）=cosθcos+sinθsin

=-×+×=，

故cos（θ-）的值为．

解析

解：由于sinθ=，θ是第二象限角，则cosθ=-=-，

则cos（θ-）=cosθcos+sinθsin

=-×+×=，

故cos（θ-）的值为．

题型：简答题

简答题

已知向量=（sin，a），=（acos，cos2）且a＞0，f（x）=•．函数f（x）的图象过最大值点（x0，3）及相邻的最小值点（x0+π，-1）．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若α∈（-，）且f（α）=，求的值．

正确答案

解：（1）∵=（sin，a），=（acos，cos2）且a＞0，

∴f（x）=•=asincos+acos2

=asinωx+a=asin（ωx+）+，

又∵f（x）的图象过最大值点（x0，3）及最小值点（x0+π，-1），

∴a=2，=π，即ω=1

∴f（x）=2sin（x+）+1

（2）∵f（α）=，∴sin（α+）=，

又∵α∈（-，）且sin（α+）=＜，

∴0＜α+＜，

∴cos（α+）==

∴sinα=sin[（α+）-]=

∴==-

解析

解：（1）∵=（sin，a），=（acos，cos2）且a＞0，

∴f（x）=•=asincos+acos2

=asinωx+a=asin（ωx+）+，

又∵f（x）的图象过最大值点（x0，3）及最小值点（x0+π，-1），

∴a=2，=π，即ω=1

∴f（x）=2sin（x+）+1

（2）∵f（α）=，∴sin（α+）=，

又∵α∈（-，）且sin（α+）=＜，

∴0＜α+＜，

∴cos（α+）==

∴sinα=sin[（α+）-]=

∴==-

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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