两角和与差的三角函数及三角恒等变换_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知向量m=（sinωx，cosωx），n=（cosωx，cosωx）且0＜ω＜2，函数f（x）=m•n，且f（）=．

（Ⅰ）求ω；

（Ⅱ）将函数y=g（x）的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，得到函数y=f（x）的图象，求函数g（x）的解析式及其在[-，]上的值域．

正确答案

解：（Ⅰ）由f（x）=•=sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+

=sin（2ωx+）+，…3分

∵f（）=，则sin（+）=0，

∴+=kπ，k∈Z，

∴ω=k-，k∈Z，又0＜ω＜2，

∴k=1，故ω=1…6分

（Ⅱ）由题意知，将函数y=g（x）的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，得到函数y=f（x）的图象⇔将y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，再将得到的y=sin（+）+的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，因此g（x）=sin（+）+=cos+，…9分

∵∈[-，]，

∴≤cos≤1，

故g（x）在[-，]上的值域为[，1+]…12分

解析

解：（Ⅰ）由f（x）=•=sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+

=sin（2ωx+）+，…3分

∵f（）=，则sin（+）=0，

∴+=kπ，k∈Z，

∴ω=k-，k∈Z，又0＜ω＜2，

∴k=1，故ω=1…6分

（Ⅱ）由题意知，将函数y=g（x）的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，得到函数y=f（x）的图象⇔将y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，再将得到的y=sin（+）+的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，因此g（x）=sin（+）+=cos+，…9分

∵∈[-，]，

∴≤cos≤1，

故g（x）在[-，]上的值域为[，1+]…12分

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题型：填空题

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填空题

“sinα=”是“”的______条件．

正确答案

充分不必要

解析

解：当sinα=时，cos2α=1-2sin2α=1-2×=，故充分；

当时，cos2α=1-2sin2α=，∴sinα=±，故不必要

∴sinα=”是“”的充分不必要条件

故答案为：充分不必要

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题型：单选题

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单选题

已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b∈Z），且满足{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}，则|a|的最大值为（　　）

A1

B3

C4

D6

正确答案

B

解析

解：记A={x|f（x）=0}，B={x|f（f（x））=0}，

显然集合A≠∅，设 x0∈A，则f（x0）=0，

∵A=B，∴x0∈B，即 f（f（x0））=0，

∴f（0）=0，∴b=0，∴f（x）=asinx，a∈Z．

①当a=0时，显然满足A=B；

②当a≠0时，A={x|asinx=0}；B={x|asin（asinx）=0}，

即B={x|asinx=kπ，k∈Z}，∵A=B，

∴对于任意x∈R，必有asinx≠kπ（k∈Z，且k≠0）成立，

即对于任意x∈R，sinx≠，∴||＞1，

即|a|＜|k|•π，其中k∈Z，且k≠0．

∴|a|＜π，∴整数a的最大值是3

故选：B

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题型：单选题

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单选题

已知x是三角形的最小内角，则sinx+cosx的取值范围是（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：∵已知x是三角形的最小内角，则 0＜x≤．

再由 sinx+cosx=sin（x+），＜x+≤，可得＜sin（x+）≤1，

故 1＜sin（x+）≤，

故选D．

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题型：单选题

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单选题

已知cosα+sinα=，则cos（-2α）的值等于（　　）

A-

B-

C

D

正确答案

B

解析

解：∵cosα+sinα=，

∴，∴．

∴cos（-2α）==．

故选：B．

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