两角和与差的三角函数及三角恒等变换
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两角和与差的三角函数及三角恒等变换
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题型：单选题

单选题

在△ABC中，若1-tanAtanB＜0，则△ABC是（　　）

A锐角三角形

B钝角三角形

C直角三角形

D等腰三角形

正确答案

解析

解：解：∵A和B都为三角形中的内角，由1-tanAtanB＜0知tanAtanB＞1＞0，

∴tanA＞0，tanB＞0，即A，B为锐角；

∴-tanC=tan（A+B）=＜0，tanC＞0，即C为锐角，

∴△ABC是锐角三角形，

故选：A．

题型：简答题

简答题

设向量=（a，cos2x），=（1+sin2x，1），x∈R，函数f（x）=•cos∠AOB

（Ⅰ）当y=f（x）的图象经过点（，2）时，求实数a的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若x为锐角，当sin2x=sin（+α）•sin（-α）+时，求△OAB的面积；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，记函数h（x）=f（x+t）（其中实数t为常数，且0＜t＜π）．若h（x）是偶函数，求t的值．

正确答案

解：（1）由题意可得f（x）=•cos∠AOB

=•=a（1+sin2x）+cos2x

∵图象经过点（，2），

∴a（1+sin）+cos=2a=2，

∴a=1；

（2）∵sin2x=sin（+α）•sin（-α）+，

∴sin2x=sin（+α）cos（+α）+

=sin（+2α）+

=cos2α+=，

∵x为锐角，∴x=，

∴=（1，0），=（2，1），

∴cos∠AOB=，∴sin∠AOB=，

∴△OAB的面积S=×=；

（3）可得f（x）=1+sin2x+cos2x=1+sin（2x+），

∴h（x）=f（x+t）=1+sin（2x+2t+），

∵h（x）是偶函数，∴2t+=kπ+，

∴t=+，k∈Z，

又∵0＜t＜π，∴t=或．

解析

解：（1）由题意可得f（x）=•cos∠AOB

=•=a（1+sin2x）+cos2x

∵图象经过点（，2），

∴a（1+sin）+cos=2a=2，

∴a=1；

（2）∵sin2x=sin（+α）•sin（-α）+，

∴sin2x=sin（+α）cos（+α）+

=sin（+2α）+

=cos2α+=，

∵x为锐角，∴x=，

∴=（1，0），=（2，1），

∴cos∠AOB=，∴sin∠AOB=，

∴△OAB的面积S=×=；

（3）可得f（x）=1+sin2x+cos2x=1+sin（2x+），

∴h（x）=f（x+t）=1+sin（2x+2t+），

∵h（x）是偶函数，∴2t+=kπ+，

∴t=+，k∈Z，

又∵0＜t＜π，∴t=或．

题型：简答题

简答题

设函数．

（Ⅰ）求f（x）的最值；

（Ⅱ）当时，若f（θ）=1，求θ的值．

正确答案

解：（Ⅰ）

故当时，

当sinx=-1时，．

（Ⅱ）由

即：

又，

∴，从而．

解析

解：（Ⅰ）

故当时，

当sinx=-1时，．

（Ⅱ）由

即：

又，

∴，从而．

题型：简答题

简答题

已知tan2α+6tanα+7=0，tan2β+6tanβ+7=0，α，β∈（0，π）且α≠β，求α+β的值．

正确答案

解：由于tan2α+6tanα+7=0，tan2β+6tanβ+7=0，

则tanα，tanβ为方程x2+6x+7=0的两根，

则有tanα+tanβ=-6，tanαtanβ=7，

且tanα＜0，tanβ＜0，

由于α，β∈（0，π），则有α，β∈（，π），

由于tan（α+β）===1，

又α+β∈（π，2π），

则．

解析

解：由于tan2α+6tanα+7=0，tan2β+6tanβ+7=0，

则tanα，tanβ为方程x2+6x+7=0的两根，

则有tanα+tanβ=-6，tanαtanβ=7，

且tanα＜0，tanβ＜0，

由于α，β∈（0，π），则有α，β∈（，π），

由于tan（α+β）===1，

又α+β∈（π，2π），

则．

题型：填空题

填空题

已知，0≤x≤π，则tan2α=______．

正确答案

解析

解：∵，①0≤x≤π

∴1-2sinαcosα=，

∴2sinαcosα=

∴

∴1+2sinαcosα=，

∴sinα+cosα=，②

由①②得sinα=，cosα=，

∴tanα=，

∴

故答案为：-

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