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题型:简答题
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简答题

已知A,B是△ABC的两个内角,向量,且

(1)证明:tanAtanB为定值;

(2)若,求边BC上的高AD的长度.

正确答案

解:(1)∵A,B是△ABC的两个内角,向量=(cos,sin),且||=

=2+=,∴1+cos(A+B)+=

化简可得 2cos(A+B)-cos(A-B)=0,∴2cosAcosB-2sinAsinB-(cosAcosB+sinAsinB)=0,

∴cosAcosB=3sinAsinB,∴tanA•tanB=

(2)由(1)可得tanA•tanB=,且tanA=tan=,∴tanB=,B=

直角三角形ABD中,AD=AB•sinB=2×sin=1.即为所求的值

解析

解:(1)∵A,B是△ABC的两个内角,向量=(cos,sin),且||=

=2+=,∴1+cos(A+B)+=

化简可得 2cos(A+B)-cos(A-B)=0,∴2cosAcosB-2sinAsinB-(cosAcosB+sinAsinB)=0,

∴cosAcosB=3sinAsinB,∴tanA•tanB=

(2)由(1)可得tanA•tanB=,且tanA=tan=,∴tanB=,B=

直角三角形ABD中,AD=AB•sinB=2×sin=1.即为所求的值

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题型:简答题
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简答题

已知函数f(x)=a(2cos2+sinx)+b,

(1)当a=1时,求f(x)的最小正周期和单调递增区间;

(2)当x∈[0,π]时,f(x)的值域是[3,4],求a,b的值.

正确答案

解:(1)当a=1时,f(x)=1+cosx+sinx+b=sinx+cosx+b+1=2sin(x+)+1+b…2分

T=2π…3分

由-+2kπ≤x++2kπ,k∈Z得:2kπ-π≤x≤+2kπ,k∈Z.

∴函数f(x)的单调递增区间为[2kπ-π,+kπ],k∈Z…6分

(2)f(x)=2asin(x+)+a+b,

x∈[0,π],x+∈[],sin(x+)∈[-,1]…8分

当a>0时,f(x)∈[b,3a+b],于是,解得…10分

当a<0时,f(x)∈[3a+b,b],同理可得…12分

解析

解:(1)当a=1时,f(x)=1+cosx+sinx+b=sinx+cosx+b+1=2sin(x+)+1+b…2分

T=2π…3分

由-+2kπ≤x++2kπ,k∈Z得:2kπ-π≤x≤+2kπ,k∈Z.

∴函数f(x)的单调递增区间为[2kπ-π,+kπ],k∈Z…6分

(2)f(x)=2asin(x+)+a+b,

x∈[0,π],x+∈[],sin(x+)∈[-,1]…8分

当a>0时,f(x)∈[b,3a+b],于是,解得…10分

当a<0时,f(x)∈[3a+b,b],同理可得…12分

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题型: 单选题
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单选题

函数 y=2sin2xcos(π-2x)是(  )

A周期为的奇函数

B周期为的偶函数

C周期为的奇函数

D周期为的偶函数

正确答案

C

解析

解:y=2sin2xcos(π-2x)

=-2sin2xcos2x

=-sin4x

∴T=

函数满足-sin(-4x)=-(-sin4x),所以是奇函数,

故选:C.

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题型:简答题
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简答题

已知函数

(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;

(2)若,求cos2x0的值.

正确答案

解:(1)∵sin(x-3π)=-sinx,sin(x-)=-cosx,sin(x+)=cosx,

=

由此可得f(x)的最小正周期为T==π.

∵当x∈时,

因此,当即x=时,f(x)的最大值为2;

即x=时,f(x)的最小值为-1.

(2)由(1)可知

,可得

可得

解析

解:(1)∵sin(x-3π)=-sinx,sin(x-)=-cosx,sin(x+)=cosx,

=

由此可得f(x)的最小正周期为T==π.

∵当x∈时,

因此,当即x=时,f(x)的最大值为2;

即x=时,f(x)的最小值为-1.

(2)由(1)可知

,可得

可得

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题型:简答题
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简答题

已知函数f(x)=

(Ⅰ)求f(x)的定义域和值域;

(Ⅱ)若曲线f(x)在点P(x0,f(x0))(-<x0)处的切线平行直线y=x,求在点P处的切线方程.

正确答案

解:(Ⅰ)f(x)=

=

由2cosx≠0,

可得(k∈Z),

所以f(x)的定义域为{x|x∈R,且,(k∈Z)},

,-2≤y≤2,

所以f(x)的值域为[-2,2].

(Ⅱ) 

又∵

可得切点为

切线方程为:

解析

解:(Ⅰ)f(x)=

=

由2cosx≠0,

可得(k∈Z),

所以f(x)的定义域为{x|x∈R,且,(k∈Z)},

,-2≤y≤2,

所以f(x)的值域为[-2,2].

(Ⅱ) 

又∵

可得切点为

切线方程为:

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