- 两角和与差的三角函数及三角恒等变换
- 共11991题
已知A,B是△ABC的两个内角,向量,且
.
(1)证明:tanAtanB为定值;
(2)若,求边BC上的高AD的长度.
正确答案
解:(1)∵A,B是△ABC的两个内角,向量
=(
cos
,sin
),且|
|=
,
∴=2
+
=
,∴1+cos(A+B)+
=
.
化简可得 2cos(A+B)-cos(A-B)=0,∴2cosAcosB-2sinAsinB-(cosAcosB+sinAsinB)=0,
∴cosAcosB=3sinAsinB,∴tanA•tanB=,
(2)由(1)可得tanA•tanB=,且tanA=tan
=
,∴tanB=
,B=
.
直角三角形ABD中,AD=AB•sinB=2×sin=1.即为所求的值
解析
解:(1)∵A,B是△ABC的两个内角,向量
=(
cos
,sin
),且|
|=
,
∴=2
+
=
,∴1+cos(A+B)+
=
.
化简可得 2cos(A+B)-cos(A-B)=0,∴2cosAcosB-2sinAsinB-(cosAcosB+sinAsinB)=0,
∴cosAcosB=3sinAsinB,∴tanA•tanB=,
(2)由(1)可得tanA•tanB=,且tanA=tan
=
,∴tanB=
,B=
.
直角三角形ABD中,AD=AB•sinB=2×sin=1.即为所求的值
已知函数f(x)=a(2cos2+
sinx)+b,
(1)当a=1时,求f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)当x∈[0,π]时,f(x)的值域是[3,4],求a,b的值.
正确答案
解:(1)当a=1时,f(x)=1+cosx+sinx+b=
sinx+cosx+b+1=2sin(x+
)+1+b…2分
T=2π…3分
由-+2kπ≤x+
≤
+2kπ,k∈Z得:2kπ-
π≤x≤
+2kπ,k∈Z.
∴函数f(x)的单调递增区间为[2kπ-π,
+kπ],k∈Z…6分
(2)f(x)=2asin(x+)+a+b,
x∈[0,π],x+∈[
,
],sin(x+
)∈[-
,1]…8分
当a>0时,f(x)∈[b,3a+b],于是,解得
…10分
当a<0时,f(x)∈[3a+b,b],同理可得…12分
解析
解:(1)当a=1时,f(x)=1+cosx+sinx+b=
sinx+cosx+b+1=2sin(x+
)+1+b…2分
T=2π…3分
由-+2kπ≤x+
≤
+2kπ,k∈Z得:2kπ-
π≤x≤
+2kπ,k∈Z.
∴函数f(x)的单调递增区间为[2kπ-π,
+kπ],k∈Z…6分
(2)f(x)=2asin(x+)+a+b,
x∈[0,π],x+∈[
,
],sin(x+
)∈[-
,1]…8分
当a>0时,f(x)∈[b,3a+b],于是,解得
…10分
当a<0时,f(x)∈[3a+b,b],同理可得…12分
函数 y=2sin2xcos(π-2x)是( )
正确答案
解析
解:y=2sin2xcos(π-2x)
=-2sin2xcos2x
=-sin4x
∴T=
函数满足-sin(-4x)=-(-sin4x),所以是奇函数,
故选:C.
已知函数
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;
(2)若,求cos2x0的值.
正确答案
解:(1)∵sin(x-3π)=-sinx,sin(x-)=-cosx,sin(x+
)=cosx,
∴
=
由此可得f(x)的最小正周期为T==π.
∵当x∈时,
∈
,
∴∈
,
因此,当即x=
时,f(x)的最大值为2;
当即x=
时,f(x)的最小值为-1.
(2)由(1)可知,
∵,
∴
由,可得
,
∴
可得.
解析
解:(1)∵sin(x-3π)=-sinx,sin(x-)=-cosx,sin(x+
)=cosx,
∴
=
由此可得f(x)的最小正周期为T==π.
∵当x∈时,
∈
,
∴∈
,
因此,当即x=
时,f(x)的最大值为2;
当即x=
时,f(x)的最小值为-1.
(2)由(1)可知,
∵,
∴
由,可得
,
∴
可得.
已知函数f(x)=.
(Ⅰ)求f(x)的定义域和值域;
(Ⅱ)若曲线f(x)在点P(x0,f(x0))(-<x0<
)处的切线平行直线y=
x,求在点P处的切线方程.
正确答案
解:(Ⅰ)f(x)=
=
由2cosx≠0,
可得(k∈Z),
所以f(x)的定义域为{x|x∈R,且,(k∈Z)},
则,-2≤y≤2,
所以f(x)的值域为[-2,2].
(Ⅱ) ,
∴;
又∵,
∴,
可得切点为,
切线方程为:和
.
解析
解:(Ⅰ)f(x)=
=
由2cosx≠0,
可得(k∈Z),
所以f(x)的定义域为{x|x∈R,且,(k∈Z)},
则,-2≤y≤2,
所以f(x)的值域为[-2,2].
(Ⅱ) ,
∴;
又∵,
∴,
可得切点为,
切线方程为:和
.
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