两角和与差的三角函数及三角恒等变换
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两角和与差的三角函数及三角恒等变换
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题型：单选题

单选题

函数f（x）=sinx-cosx的最大值为（　　）

正确答案

解析

解：f（x）=sinx-cosx=2（sinx-cosx）=2sin（x-），

故f（x）max=2，

故选：B．

题型：简答题

简答题

若x∈[-π，π]，为使方程sinx-cosx=q．

（1）有解；

（2）有两个不同的解；

（3）仅有一解；

请分别求q的值．

正确答案

解：∵q=sinx-cosx=2（sinx-cosx）=2sin（x-），

∴当x∈[-π，π]时，x-∈[-，]，

∴2sin（x-）∈[-2，2]，

∴（1）q∈[-2，2]时，有解；

（2）当q∈（-2，）∪（，2）时，有两个不同的解；

（3）当q=-2或q=2时仅有一解．

解析

解：∵q=sinx-cosx=2（sinx-cosx）=2sin（x-），

∴当x∈[-π，π]时，x-∈[-，]，

∴2sin（x-）∈[-2，2]，

∴（1）q∈[-2，2]时，有解；

（2）当q∈（-2，）∪（，2）时，有两个不同的解；

（3）当q=-2或q=2时仅有一解．

题型：单选题

单选题

已知，则cosβ的值为（　　）

A-1

B-1或

正确答案

解析

解：∵，

∴，

∴cosβ=cos[（α+β）-α]==

故选C．

题型：简答题

简答题

已知函数．

（1）求它的最小正周期和最大值；

（2）求它的递增区间．

正确答案

解：（1）依题意可得===，

所以，最大值为2．

（2）由，可得，k∈z

所以，该函数的递增区间为，k∈z．

解析

解：（1）依题意可得===，

所以，最大值为2．

（2）由，可得，k∈z

所以，该函数的递增区间为，k∈z．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=2sin（x+）（x∈R）．

（1）求函数f（x）周期、单调性、对称点、对称轴．

（2）设0＜α＜＜β＜π，f（3a+π）=，f（3β+）=-，求sin（α-β）的值．

正确答案

解：（1）函数的周期T==6π，

由-+2kπ≤x+≤+2kπ，

解得6kπ-2π≤x≤6kπ+π，即函数的递增区间为[6kπ-2π，6kπ+π]，k∈Z，

由+2kπ≤x+≤+2kπ，

解得6kπ+π≤x≤6kπ+，即函数的递减区间为[6kπ+π，6kπ++]，k∈Z，

由2x+=+2kπ，即x=+kπ，k∈Z，

即函数的对称轴为x=+kπ，k∈Z，

由2x+=kπ，即x=-+，即函数的对称中心为（-+，0）

由x+=kπ得x=3kπ-，即对称点为（3kπ-，0），k∈Z，

由x+=kπ+，得x=3kπ+π，即对称轴为x=3kπ+π，k∈Z．

（2）∵f（3a+π）=2sin（α+）=2cosα=，

∴cosα=，

∵f（3β+）=2sin（β+π）=-2sinβ=-，

∴sinβ=，

而0＜α＜＜β＜π，

∴sinα=，cosβ=-，

∴sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=×（-）-×=-．

解析

解：（1）函数的周期T==6π，

由-+2kπ≤x+≤+2kπ，

解得6kπ-2π≤x≤6kπ+π，即函数的递增区间为[6kπ-2π，6kπ+π]，k∈Z，

由+2kπ≤x+≤+2kπ，

解得6kπ+π≤x≤6kπ+，即函数的递减区间为[6kπ+π，6kπ++]，k∈Z，

由2x+=+2kπ，即x=+kπ，k∈Z，

即函数的对称轴为x=+kπ，k∈Z，

由2x+=kπ，即x=-+，即函数的对称中心为（-+，0）

由x+=kπ得x=3kπ-，即对称点为（3kπ-，0），k∈Z，

由x+=kπ+，得x=3kπ+π，即对称轴为x=3kπ+π，k∈Z．

（2）∵f（3a+π）=2sin（α+）=2cosα=，

∴cosα=，

∵f（3β+）=2sin（β+π）=-2sinβ=-，

∴sinβ=，

而0＜α＜＜β＜π，

∴sinα=，cosβ=-，

∴sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=×（-）-×=-．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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