- 两角和与差的三角函数及三角恒等变换
- 共11991题
在△ABC中，角A、B、C对边的边长分别是a、b、c，下列条件中能够判断△ABC是等腰三角形的是（ ）
正确答案
解析
解：由正弦定理得：
得到a=2RsinA，b=2RsinB，
A、asinB=bsinA化为：sinAsinB=sinBsinA，本选项不能判断出△ABC为等腰三角形；
B、acosB=bsinA化为：sinAcosB=sinBsinA，∵B∈（0，π），由sinA≠0，得到cosB=sinB，即tanB=1，得到B=
C、∴asinA=bsinB化为：2Rsin2A=2Rsin2B，即sin2A=sin2B，∵A和B都为三角形的内角，∴sinA=sinB，
∴A=B或A+B=π（舍去），则a=b，即△ABC为等腰三角形，本选项能判断△ABC为等腰三角形；
D、asinB=bcosB化为sinAsinB=sinBcosB，∵B∈（0，π）
由sinB≠0，得到sinA=cosB，得到A+B=
故选C
在△ABC中，b=asinC且c=asin（90°-B），试判断△ABC的形状（ ）
正确答案
解析
解：∵在△ABC中，c=asin（90°-B）=a•cosB，则由余弦定理可得 c=a•
化简可得 a2=b2+c2，故△ABC为直角三角形，且sinC=
再由b=asinC，可得 sinC=
综上可得，△ABC为等腰直角三角形，
故选D．
设△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c，
（1）求角A的大小；
（2）当BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．
正确答案
解：（1）∵
∴sinA•（sinA+
∴
∵A∈（0，π），
∴2A-
∴2A-
（2）由余弦定理得：4=b2+c2-bc，又S△ABC=
而b2+c2≥2bc⇒bc+4≥2bc⇒bc≤4，（当且仅当b=c时取等号）
∴S△ABC=
当△ABC的面积取最大值时，b=c，又A=
∴此时△ABC为等边三角形．
解析
解：（1）∵
∴sinA•（sinA+
∴
∵A∈（0，π），
∴2A-
∴2A-
（2）由余弦定理得：4=b2+c2-bc，又S△ABC=
而b2+c2≥2bc⇒bc+4≥2bc⇒bc≤4，（当且仅当b=c时取等号）
∴S△ABC=
当△ABC的面积取最大值时，b=c，又A=
∴此时△ABC为等边三角形．
已知点D是△ABC的边BC上的点，且AB2=AD2+BD×DC．求证△ABC为等腰三角形．
正确答案
解：取BC边所在的直线为x轴，BC上的高为y轴，建立如图所示的坐标系．
设A（0，a），B（b，0），C（c，0），D（d，0）．
由已知，AB2=AD2+BD×DC，
∴a2+b2=a2+d2+（d-b）（c-d），
∴（b+c）（b-d）=0．
∵b≠d，所以b=-c．
即O是BC的中点，△ABC为等腰三角形．
解析
解：取BC边所在的直线为x轴，BC上的高为y轴，建立如图所示的坐标系．
设A（0，a），B（b，0），C（c，0），D（d，0）．
由已知，AB2=AD2+BD×DC，
∴a2+b2=a2+d2+（d-b）（c-d），
∴（b+c）（b-d）=0．
∵b≠d，所以b=-c．
即O是BC的中点，△ABC为等腰三角形．
已知函数f（x）=cos
（Ⅰ）若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，其终边过点B，求sin2α的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的最值．
正确答案
解：（Ⅰ）∵函数
∴
即点B（4，-2），
∴
∴
（Ⅱ）
∵0≤x≤5，
∴
当
当
解析
解：（Ⅰ）∵函数
∴
即点B（4，-2），
∴
∴
（Ⅱ）
∵0≤x≤5，
∴
当
当
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