热门试卷

因为已知a、b、c是实数，且a2+b2+c2=1根据柯西不等式（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2

故有（a2+b2+c2）（22+1+22）≥（2a+b+2c）2

故（2a+b+2c）2≤9，即2a+b+2c≤3

即2a+b+2c的最大值为3．

由柯西不等式（a1+a2+a2+a3+a3+a4+…+an+a1）×(++…+)

≥（a1+a2+…+an）2=1．

即2(++…+)≥（a1+a2+…+an）2=1．

(++…+)≥，

令a1=a2=…=a1=，得a12+a22+…+an2≥． （n≥2，n∈N）．

由柯西不等式，得[x+（-2）y+（-3）z]2≤[12+（-2）2+（-3）2]（x2+y2+z2），

即（x-2y-3z）2≤14（x2+y2+z2），…（5分）

即16≤14（x2+y2+z2）．

所以x2+y2+z2≥，即x2+y2+z2的最小值为．…（10分）

（1）设矩阵 A=，这里a，b，c，d∈R，

则 A==3 ，故

=，故

联立以上两方程组解得a=1，b=2，c=2，d=1，故M=．

（2）由已知得直线l的参数方程为 （t为参数），

即 （t为参数）．（3分）

曲线的普通方程为（x-2）2+（y-1）2=25．（6分）

把直线的参数方程代入曲线的普通方程，得

t2+（ +3）t-15=0，

∴t1t2=15，（8分）

∴点P到A，B两点的距离之积为15．（10分）

（3）由柯西不等式，（a+b+c+d）2≤（12+12+12+12）（a2+b2+c2+d2）

所以得：4（16-e）2≥（8-e）2．

解得：0≤e≤

不姐仅当a=b=c=d=时，e取最大值．

（1）依题意得，即

所以解得∴A=

（2）由ρsin（θ-）=ρ（sinθ-cosθ）=6，∴y-x=12

将圆的参数方程化为普通方程为x2+y2=10圆心为C（0，0），半径为10．

∴点C到直线的距离为d==6，

直线l被圆截得的弦长为2=16

（3）由柯西不等式得，有(2b2+3c2+6d2)(++)≥(b+c+d)2

即2b2+3c2+6d2≥（b+c+d）2，由条件可得，5-a2≥（3-a）2

解得，1≤a≤2，代入b=1，c=，d=时，amax=2；b=1，c=，d=时，amin=1

（1）∵

（∵a+b=1）．

（2）由柯西不等式得，有(2b2+3c2+6d2)(++)≥(b+c+d)2；

即2b2+3c2+6d2≥（b+c+d）2

由条件可得，5-a2≥（3-a）2；

解得，1≤a≤2当且仅当==时等号成立，

代入b=1，c=，d=时，

amax=2b=1，c=，d=时amin=1．

证明：（1）由柯西不等式得：（sin2α+sin2β+sin2γ）（1+1+1）≥（1•sinα+1•sinβ+1•sinγ）2，

因为sinα+sinβ+sinγ=1，所以3（sin2α+sin2β+sin2γ）≥1，得：sin2α+sin2β+sin2γ≥．

（2）由恒等式tan2x=-1和若a，b，c＞0，则++≥，

得tan2α+tan2β+tan2 γ=++-3≥-3．

于是=≥=，

由此得tan2α+tan2β+tan2 γ≥-3=．