- 曲线的方程
- 共349题
方程|x|+|y|=1表示的曲线是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：方程|x|+|y|=1 即：x±y=1，或-x±y=1，（-1≤x≤1，且-1≤y≤1 ）
故方程|x|+|y|=1表示的曲线所围成的图形如图所示：曲线围成一个边长为
故选：D．
若圆x2+y2=9上每个点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的
A
B
C
D
正确答案
解析
解：设点（x，y）为所得曲线上任意一点，（x0，y0）为圆x2+y2=9上的点，
因为圆x2+y2=9上的所有点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的
所以x=x0，y=
又因为x02+y02=9，
所以
故选C．
实数x，y满足x2+y2-2x-2y+1=0，则
A
B
C
D
正确答案
解析
解：令：t═
则圆心到直线的距离为：d=
解得t=
由直线与圆有公共点时，
故选A．
平移坐标轴，把原点移到（-4，3），求曲线方程x2+y2+8x-6y=0在新坐标系下的方程．
正确答案
解：将坐标原点移至O′（-4，3），由坐标平移公式：x=x′+h； y=y′+k．
可得：x=x′-4，y=y′+3．
∴（x′-4）2+（y′+3）2+8（x′-4）-6（y′+3）=0，
∴x′2+y′2=25，即x2+y2=25．
解析
解：将坐标原点移至O′（-4，3），由坐标平移公式：x=x′+h； y=y′+k．
可得：x=x′-4，y=y′+3．
∴（x′-4）2+（y′+3）2+8（x′-4）-6（y′+3）=0，
∴x′2+y′2=25，即x2+y2=25．
（2015秋•东城区期末）已知曲线Cn的方程为：|x|n+|y|n=1（n∈N*）．
（Ⅰ）分别求出n=1，n=2时，曲线Cn所围成的图形的面积；
（Ⅱ）若Sn（n∈N*）表示曲线Cn所围成的图形的面积，求证：Sn（n∈N*）关于n是递增的；
（Ⅲ） 若方程xn+yn=zn（n＞2，n∈N），xyz≠0，没有正整数解，求证：曲线Cn（n＞2，n∈N*）上任一点对应的坐标（x，y），x，y不能全是有理数．
正确答案
（Ⅰ）解：当n=1，2时，曲线C1、C2的方程分别为|x|+|y|=1和x2+y2=1，
其图象分别如图：
由图可知
（Ⅱ）证明：要证 
由于曲线Cn具有对称性，只需证明曲线Cn在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增．
现在考虑曲线Cn与Cn+1，
∵|x|n+|y|n=1（n∈N*）…①，
∵|x|n+1+|y|n+1=1（n∈N*）…②，
在①和②中令x=x0，x0∈（0，1），
当x0∈（0，1），存在y1，y2∈（0，1）使得
此时必有y2＞y1．
∵当x0∈（0，1）时
∴
两边同时开n次方有，
这就得到了y2＞y1，
从而
（Ⅲ）证明：由于xn+yn=zn（n＞2，n∈N）可等价转化为
反证：若曲线
不妨设
则由|x|n+|y|n=1可得，
即|qs|n+|pt|n=|ps|n．
这时qs，pt，ps就是xn+yn=zn（n＞2，n∈N*）的一组解，
这与方程xn+yn=zn（n＞2，n∈N*），xyz≠0，没有正整数解矛盾，
∴曲线
解析
（Ⅰ）解：当n=1，2时，曲线C1、C2的方程分别为|x|+|y|=1和x2+y2=1，
其图象分别如图：
由图可知
（Ⅱ）证明：要证
由于曲线Cn具有对称性，只需证明曲线Cn在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增．
现在考虑曲线Cn与Cn+1，
∵|x|n+|y|n=1（n∈N*）…①，
∵|x|n+1+|y|n+1=1（n∈N*）…②，
在①和②中令x=x0，x0∈（0，1），
当x0∈（0，1），存在y1，y2∈（0，1）使得
此时必有y2＞y1．
∵当x0∈（0，1）时
∴
两边同时开n次方有，
这就得到了y2＞y1，
从而
（Ⅲ）证明：由于xn+yn=zn（n＞2，n∈N）可等价转化为
反证：若曲线
不妨设
则由|x|n+|y|n=1可得，
即|qs|n+|pt|n=|ps|n．
这时qs，pt，ps就是xn+yn=zn（n＞2，n∈N*）的一组解，
这与方程xn+yn=zn（n＞2，n∈N*），xyz≠0，没有正整数解矛盾，
∴曲线
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