曲线的方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

（2014•合肥校级模拟）已知线段MN的两个端点M、N分别在x轴、y轴上滑动，且|MN|=4，点P在线段MN上，满足=m（0＜m＜1），记点P的轨迹为曲线W．

（1）求曲线W的方程，并讨论W的形状与m的值的关系；

（2）当m=时，设A、B是曲线W与x轴、y轴的正半轴的交点，过原点的直线与曲线W交于C、D两点，其中C在第一象限，求四边形ACBD面积的最大值．

正确答案

解：（1）设M（a，0），N（0，b），P（x，y），则a2+b2=|MN|2=16，

而由=m有：（x-a，y）=m（-a，b），解得：，代入得：．

当0时，曲线W的方程为，表示焦点在x轴上的椭圆；

当时，曲线W的方程为x2+y2=4，W为以原点为圆心、半径为2的圆；

当时，曲线W的方程为，表示焦点在y轴上的椭圆．

（2）由（1）当m=时，曲线W的方程是，可得A（3，0），B（0，1）．

设C（x1，y1），则x1＞0，y1＞0，

由对称性可得D（-x1，-y1）．

因此，S四边形ACBD=S△BOC+S△BOD+S△AOC+S△AOD=|BO|（x1+x1）+|AO|（y1+y1），

即S四边形ACBD=x1+3y1，而，即，

所以S四边形ACBD=x1+3y1≤2=3

当且仅当时，即x1=且y1=时取等号，

故当C的坐标为（，）时，四边形ABCD面积有最大值3

解析

解：（1）设M（a，0），N（0，b），P（x，y），则a2+b2=|MN|2=16，

而由=m有：（x-a，y）=m（-a，b），解得：，代入得：．

当0时，曲线W的方程为，表示焦点在x轴上的椭圆；

当时，曲线W的方程为x2+y2=4，W为以原点为圆心、半径为2的圆；

当时，曲线W的方程为，表示焦点在y轴上的椭圆．

（2）由（1）当m=时，曲线W的方程是，可得A（3，0），B（0，1）．

设C（x1，y1），则x1＞0，y1＞0，

由对称性可得D（-x1，-y1）．

因此，S四边形ACBD=S△BOC+S△BOD+S△AOC+S△AOD=|BO|（x1+x1）+|AO|（y1+y1），

即S四边形ACBD=x1+3y1，而，即，

所以S四边形ACBD=x1+3y1≤2=3

当且仅当时，即x1=且y1=时取等号，

故当C的坐标为（，）时，四边形ABCD面积有最大值3

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题型：单选题

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单选题

直角坐标系中，方程|x|•y=1表示的曲线是（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：由|x|•y=1，可知x≠0，

∴=，

则方程|x|•y=1表示的曲线是C．

故选：C．

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题型：简答题

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简答题

解方程组．

正确答案

解：两方程相加可得x+y=±4，

x+y=4时，x=3，y=1；x+y=-4时，x=-3，y=-1．

解析

解：两方程相加可得x+y=±4，

x+y=4时，x=3，y=1；x+y=-4时，x=-3，y=-1．

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题型：单选题

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单选题

若点集M满足：任意（x，y）∈M，均有（kx，ky）∈M，其中k∈（0，1），则称该点集M是“k阶保守”点集．下列集合：

①{（x，y）丨x2≥y}，②{（x，y）丨2x2+y2＜1}，③{（x，y）x2+y2+x+2y=0}，④{（x，y）丨x3+y3-x2y=0}，其中是“阶保守”点集的个数是（　　）

A1

B2

C3

D4

正确答案

B

解析

解：①由题意，取点（1，1），则（1，1）∈M，但是（，）∉M，∴点集M不是“阶保守”点集；

②∵（x，y）∈{（x，y）丨2x2+y2＜1}，∴2x2+y2＜1

∵=（2x2+y2）＜＜1，∴点集M是“阶保守”点集；

③由题意，取点（0，-2），则（0，-2）∈M，但是（0，-1）∉M，∴点集M不是“阶保守”点集；

④∵（x，y）∈{（x，y）丨x3+y3-x2y=0}，∴x3+y3-x2y=0

∴=（x3+y3-x2y）=0

∴点集M是“阶保守”点集

故选B．

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题型：简答题

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简答题

已知曲线，直线l：kx-y-k=0，O为坐标原点．

（1）讨论曲线C所表示的轨迹形状；

（2）当k=1时，直线l与曲线C相交于两点M，N，若，求曲线C的方程；

（3）当a=-1时，直线l与曲线C相交于两点M，N，试问在曲线C上是否存在点Q，使得？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（1）对于曲线，当a＜0 时，曲线表示焦点在x 轴上的双曲线；

当a=1 时，曲线表示单位圆；当0＜a＜1 时，曲线表示焦点在x 轴上的椭圆；

当a＞1 时，曲线表示曲线表示焦点在y 轴上的椭圆．

（2）当k=1时，直线l的方程为 y=x-1，代入曲线得，（a+1）x2-2x+1-a=0，

∴x1+x2=，x1•x2=，由弦长公式得 =

=•=•=•，

∴a=1，或 a=-．

（3）当a=-1时，曲线即 C：x2-y2=1，表示焦点在x轴上的等轴双曲线．

直线l：kx-y-k=0过曲线C的右顶点（1，0），不妨设为点M，设点N（x2，y2）．

把直线l：kx-y-k=0代入曲线C的方程得（1-k2）x2+2k2x-k2-1=0，

由题意知，1和x2是此方程的两个根，

由于△=4k4-4（1-k2）（-k2-1）＞0，∴1+x2=-，1×x2=，∴x2=．

∵，∴=（ 1+x2，0+y2）=（，），

∴点Q的坐标为（•，•），点Q在曲线C上，则有Q点的坐标满足双曲线的方程，

化简可得 •=1，即 λ2=≥0，即 k2=≥0，

由此求得λ=0，或λ＞2，或λ＜-2．

故存在点Q满足条件，要求的λ的范围为{λ|λ=0，或λ＞2，或λ＜-2}．

解析

解：（1）对于曲线，当a＜0 时，曲线表示焦点在x 轴上的双曲线；

当a=1 时，曲线表示单位圆；当0＜a＜1 时，曲线表示焦点在x 轴上的椭圆；

当a＞1 时，曲线表示曲线表示焦点在y 轴上的椭圆．

（2）当k=1时，直线l的方程为 y=x-1，代入曲线得，（a+1）x2-2x+1-a=0，

∴x1+x2=，x1•x2=，由弦长公式得 =

=•=•=•，

∴a=1，或 a=-．

（3）当a=-1时，曲线即 C：x2-y2=1，表示焦点在x轴上的等轴双曲线．

直线l：kx-y-k=0过曲线C的右顶点（1，0），不妨设为点M，设点N（x2，y2）．

把直线l：kx-y-k=0代入曲线C的方程得（1-k2）x2+2k2x-k2-1=0，

由题意知，1和x2是此方程的两个根，

由于△=4k4-4（1-k2）（-k2-1）＞0，∴1+x2=-，1×x2=，∴x2=．

∵，∴=（ 1+x2，0+y2）=（，），

∴点Q的坐标为（•，•），点Q在曲线C上，则有Q点的坐标满足双曲线的方程，

化简可得 •=1，即 λ2=≥0，即 k2=≥0，

由此求得λ=0，或λ＞2，或λ＜-2．

故存在点Q满足条件，要求的λ的范围为{λ|λ=0，或λ＞2，或λ＜-2}．

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