- 曲线的方程
- 共349题
画出方程x4-x2=y4-y2的曲线C，并回答下列问题：
（1）若点A（m，
（2）若直线y=a（a∈R）与曲线C分别有一个、两个、三个、四个交点，求a的取值范围．
正确答案
（1）∵点（，
∴（2-2）[2+（
解之，有=±
（2）解方程组
当直线=与曲线有两个交点时：
＞1或＜-1，或=
当直线=与曲线有三个交点时：
=1或=-1，或=0，
当直线=与曲线有四个交点时：
0＜＜1且≠
由曲线的对称性知，直线=与曲线不会只有一个交点，即不存在实数，使直线=与曲线有一个交点．
解析
（1）∵点（，
∴（2-2）[2+（
解之，有=±
（2）解方程组
当直线=与曲线有两个交点时：
＞1或＜-1，或=
当直线=与曲线有三个交点时：
=1或=-1，或=0，
当直线=与曲线有四个交点时：
0＜＜1且≠
由曲线的对称性知，直线=与曲线不会只有一个交点，即不存在实数，使直线=与曲线有一个交点．
在直角坐标系内，点A（x，y）实施变换f后，对应点为A1（y，x），给出以下命题：
①圆x2+y2=r2（r≠0）上任意一点实施变换f后，对应点的轨迹仍是圆x2+y2=r2（r≠0）；
②若直线y=kx+b上每一点实施变换f后，对应点的轨迹方程仍是y=kx+b，则k=-1；
③椭圆
④曲线C：y=-x2+2x-1（x＞0）上每一点实施变换f后，对应点的轨迹是曲线C1，M是曲线C上的任意一点，N是曲线C1上的任意一点，则|MN|的最小值为
以上正确命题的序号是______（写出全部正确命题的序号）．
正确答案
①③④
解析
解：①圆x2+y2=r2（r≠0）上任意一点实施变换f后，
显然互换x，y后，对应点的轨迹仍是圆x2+y2=r2（r≠0）；
则①正确；
②若直线y=kx+b上每一点实施变换f后，
互换x，y后，对应点的轨迹方程：x=ky+b，若应点的轨迹方程仍是y=kx+b，
那么k=±1且b=0，则②不正确；
③椭圆
对应点的轨迹：
那么对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆，则③正确；
④曲线C：y=-x2+2x-1（x＞0）上每一点实施变换f后，
对应点的轨迹是曲线C1：x=-y2+2y-1（x＞0）
将y=x向下平移
那么y=x与直线y=x-
则④正确．
故答案为：①③④．
方程（x+y）
正确答案
两条射线和一个圆
解析
解：∵（x+y）
∴x+y=0（x2+y2≥4）或x2+y2=4，
∴方程（x+y）
故答案为：两条射线和一个圆．
（2015秋•余姚市期末）已知直线l：x-y+m=0（m是常数），曲线C：x|x|-y|y|=1，若l与C有两个不同的交点，则m的取值范围是______．
正确答案
（-
解析
由直线l：x-y+m=0（m是常数），曲线C：x2+y2=1相切，
可得m=-
∴m的取值范围是（-
故答案为：（-
如果曲线C上任意一点的坐标都是方程F（x，y）=0的解，那么下列命题正确的是（ ）
正确答案
解析
解：∵曲线C上任意一点的坐标都是方程F（x，y）=0的解，
∴曲线C上的点都在方程F（x，y）=0的曲线上，而此方程未必是曲线的方程．
因此只有B正确．
故选：B．
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