- 曲线的方程
- 共349题
（2015秋•昌平区期末）已知直线l：kx-y+1=0（k∈R）．若存在实数k，使直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|=|k|，则称曲线C具有性质P．给定下列三条曲线方程：
①y=-|x|；
②x2+y2-2y=0；
③y=（x+1）2．
其中，具有性质P的曲线的序号是______．
正确答案
②③
解析
解：①y=-|x|与直线l：kx-y+1=0（k∈R）至多一个交点，不具有性质P；
②x2+y2-2y=0圆心为（0，1），直线l：kx-y+1=0（k∈R）过定点（0，1），故存在k=±2，使直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|=|k|，具有性质P；
③y=（x+1）2，过点（0，1），直线l：kx-y+1=0（k∈R）过定点（0，1），故存在k，使直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|=|k|，具有性质P．
故答案为：②③．
θ∈R，则方程x2+
正确答案
解析
解：由题意，sinθ∈[-1，0）∪（0，1]
∴sinθ=1时，方程表示圆；
sinθ∈[-1，0）时，方程表示双曲线；
sinθ∈（0，1]，方程表示椭圆．
由于不含一次项，曲线对应的方程至少有两条对称轴，而抛物线只有一条对称轴，故方程不表示抛物线
故选D．
已知点M，N的坐标分别为（-2，0），（2，0），直线MP，NP相交于点P，且它们的斜率之积是
（1）求曲线D的方程；
（2）若AB边通过坐标原点O，求AB的长及△ABC的面积；
（3）若线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线交于线段AC的中点，求△ABC的外接圆面积最大时线段AB所在直线的方程．
正确答案
解；（1）设点P的坐标（ x，y），由条件得：
（2）∵点A，B在D上，AB边通过坐标原点O，故AB边是圆的直径，∴AB=4，且AB方程为：y=x，
AB与直线l之间的距离d=
（3）∵线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线交于线段AC的中点，
∴线段AC的中点是△ABC外接圆的圆心，且AB⊥BC，∴点C还在圆x2+y2=4 上，
外接圆半径r=
∴r=
AB方程为y+2=1•（x-0），即：x-y-2=0．
解析
解；（1）设点P的坐标（ x，y），由条件得：
（2）∵点A，B在D上，AB边通过坐标原点O，故AB边是圆的直径，∴AB=4，且AB方程为：y=x，
AB与直线l之间的距离d=
（3）∵线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线交于线段AC的中点，
∴线段AC的中点是△ABC外接圆的圆心，且AB⊥BC，∴点C还在圆x2+y2=4 上，
外接圆半径r=
∴r=
AB方程为y+2=1•（x-0），即：x-y-2=0．
若对满足条件3x+3y+8=2xy（x＞0，y＞0）的任意x、y，（x+y）2-a（x+y）+16≥0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：由3x+3y+8=2xy，得3（x+y）+8=2xy≤
即（x+y）2-6（x+y）-16≥0，解得x+y≤-2或x+y≥8．
令t=x+y，则t≤-2或t≥8．
则问题变成了t2-at+16≥0对t∈（-∞，-2]∪[8，+∞）恒成立，
若△=（-a）2-4×16≤0，即-8≤a≤8，不等式显然成立，
若△＞0，即a＜-8或a＞8，
则
解得8＜a≤10．
综上，实数a的取值范围是[-8，10]．
故选：C．
方程4x2-y2+6x-3y=0表示的图形是（ ）
正确答案
解析
解：方程4x2-y2+6x-3y=0 即（2x-y）（2x+y+3）=0，
可得：2x-y=0或2x+y+3=0，∴方程表示两条直线．
故选：C．
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