热门试卷

①当m=0时，曲线方程即 x=±1，表示两条直线．

②当 m＞0时，曲线方程即 x2-=1，表示焦点在x轴的双曲线．

③m=-1时，曲线方程即 x2+y2=1，表示单位圆．

④当m＜0，且m≠-1时，曲线方程即 x2+=1，表示椭圆．

（1）设点P的坐标为（x，y），则Q（x，-2），

∵⊥∴•=0…（2分）

∴x2-2y=0，

当x=0时，P、O、Q三点共线，不符合题意，故x≠0．

∴曲线C的方程为x2=2y（x≠0）．

（2）设点P的坐标（x0，y0），∴A（x0，0）∵=∴=(0，-y0)

∵≠0∴直线PB的斜率k=…（5分）

∵x02=2y0∴k=x0∴直线PB的方程为y=x0x-y0…（6分）

代入x2=2y得x2-2x0x+2y0=0，∵△=4x02-8y0=0

∴直线PB与曲线C1相切．…（7分）

（3）不妨设C1、C2的一个交点为N（x1，y1），C1的方程为y=x2

则在C1上N点处切线的斜率为y′=x1．C2上过N点的半径的斜率为k=

x1=，

又y1=x12，得y1=-a，x12=-2a…（10分）

∵N（x1，y1）在圆C2上，∴-2a+4a2=2，∴a=-或a=1

∵y1＞0∴a＜0，∴a=-…（12分）

（1）曲线C1的方程为 y=（x-t）3-（x-t）+s．

（2）证明：在曲线C上任取一点B1（x1，y1）．设B2（x2，y2）是B1关于点A的对称点，

则有=，=，所以x1=t-x2，y1=s-y2．

代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程：

s-y2=（t-x2）3-（t-x2），即y2=（x2-t）3-（x2-t）+s，可知点B2（x2，y2）在曲线C1上．

反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上．

因此，曲线C与C1关于点A对称．

（3）证明：因为曲线C与C1有且仅有一个公共点，所以，方程组有且仅有一组解．

消去y，整理得 3tx2-3t2x+（t3-t-s）=0，这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根．

所以t≠0并且其根的判别式△=9t4-12t（t3-t-s）=0，即

所以s=-t且t≠0．