曲线的方程
共349题

· 曲线的方程

曲线的方程
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题型：填空题

填空题

已知两点M（1，），N（-4，-），给出下列曲线方程：

①4x+2y-1=0

②x2+y2=3

③+y2=1

④-y2=1

在曲线上存在P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是______．

正确答案

由M（1，），N（-4，-），

得kMN==，M、N的中点坐标为（-，0），

∴MN的垂直平分线方程为y-0=-2（x+），即y=-2x-3．

①∵直线y=-2x-3与直线4x+2y-1=0平行，∴直线4x+2y-1=0上不存在点P，使|MP|=|NP|；

②联立，得5x2+12x+6=0，△=122-4×5×6=24＞0．

∴直线y=-2x-3与x2+y2=3有交点，曲线x2+y2=3上存在点P满足|MP|=|NP|；

③联立，得9x2+24x+16=0，△=242-4×9×16=0．

∴直线y=-2x-3与+y2=1有交点，曲线+y2=1上存在点P满足|MP|=|NP|；

④联立，得7x2+24x+20=0，△=242-4×7×20=16＞0．

∴直线y=-2x-3与-y2=1有交点，曲线-y2=1上存在点P满足|MP|=|NP|．

∴曲线上存在P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是②③④．

故答案为：②③④．

题型：填空题

填空题

方程x=表示的曲线是______．

正确答案

∵方程x=中，x≥0，

对所给的方程两边平方得到x2+3y2=1，x≥0，

∴方程所表示的曲线是椭圆x2+3y2=1的右半部分，

故答案为：椭圆x2+3y2=1的右半部分．

题型：简答题

简答题

抛物线C：y=ax2的准线为y=-，PM，PN切抛物线于M，N且与X轴交于A，B，|AB|=1．

（1）求a的值；

（2）求P点的轨迹．

正确答案

（1）由已知：抛物线的准线为y=-，

∴=，∴p=1…（2分）

∴抛物线为x2=2y即y=x2，

∴a=…（5分）

（2）设M(x1，)，N(x2，)，P(x，y)

∵y=x2，∴y′=x，∴kPM=x1

直线PM：y-=x1(x-x1)，即y=x1x-

令y=0得x=x1即A(x1，0)

同理PN：y=x2x-，B(x2，0)…（9分）

由得

∵|AB|=1，∴|x1-x2|=1，∴(x1+2)2-4x1x2=4

∴（2x）2-8y=4即y=x2-…（12分）

∴P的轨迹方程为y=x2-，轨迹是一条抛物线 …（13分）

题型：填空题

填空题

下列关于曲线5x2y2+y4=1的描述中：①该曲线是封闭曲线 ②图象关于原点对称③曲线上的点到原点的最短距离为正确的序号是______．

正确答案

曲线5x2y2+y4=1 即 y2（5x2+y2）=1，显然，y≠0．故表示的曲线不是封闭曲线，故①不正确．

把曲线方程中的（x，y ）同时换成（-x，-y ），方程不变，故曲线关于原点对称，故②正确．

令 t=x2+y2，则 x2=t-y2，代入5x2y2+y4=1

化简得t==+≥2=，

故t 的最小值等于．

∴曲线上的点到原点的距离的最小值为，故③正确．

故答案为 ②③．

题型：填空题

填空题

曲线x2+ay+2y+2=0经过点（2，-1），则a=______．

正确答案

由题意，∵曲线x2+ay+2y+2=0经过点（2，-1），

∴22-a-2+2=0

∴a=4

故答案为4

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