- 曲线的方程
- 共349题
如果点M(x,y)在运动过程中总满足关系式,-
=4,则它的轨迹方程是______.
正确答案
设F1(0,-3),F2(0,3),
∵-
=4,
∴||-|MF2 =4,
∵|F1F2|=6>4,
∴由双曲线的定义,知M的轨迹是双曲线的右支,
且2a=4,2c=6,
b2=9-4=5,
∴它的轨迹方程是-
=1(y>0).
故答案为:-
=1(y>0).
设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标伸长为原来的3倍的伸压变换,则圆x2+y2=1在M的作用下的新曲线的方程是______.
正确答案
∵设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标伸长为原来的3倍的伸压变换,
∴M=,
任意选取圆x2+y2=1上的一点P(x0,y0),它在矩阵M=
对应的变换下变为P'(x0′,y0′),则有=
,
∴4x0=x0′,3y0=y0′,即x0=x0′,y0=
y0′,
又因为点P在圆 x2+y2=1上,所以+
=1,
∴在M的作用下的新曲线的方程为+
=1.
故答案为:+
=1.
如图,P是抛物线C:y=x2上一点,直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q,
(Ⅰ)若直线l与过点P的切线垂直,求线段PQ中点M的轨迹方程;
(Ⅱ)若直线l不过原点且与x轴交于点S,与y轴交于点T,试求的取值范围。
正确答案
解:(Ⅰ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),
依题意x1≠0,y1>0,y2>0,
由y=x2, ①
得y′=x,
∴过点P的切线的斜率k切=x1,
∴直线l的斜率kl=,
∴直线l的方程为,
联立①②消去y,得,
∵M是PQ的中点,
∴,
消去x1,得,
∴PQ中点M的轨迹方程为;
(Ⅱ)设直线l:y=kx+b,
依题意k≠0,b≠0,则T(0,b),
分别过P、Q作PP′⊥x轴,QQ′⊥y轴,垂足分别为P′、Q′,
则,
由消去x,得y2-2(k2+b)y+b2=0, ③
则y1+y2=2(k2+b),y1y2=b2,
∴,
∵y1、y2可取一切不相等的正数,
∴的取值范围是(2,+∞)。
在平面直角坐标系xOy中,有一个以F1(0,-)和F2(0,
)为焦点、离心率为
的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量
。
(1)点M的轨迹方程;
(2)的最小值。
正确答案
解:(1)椭圆方程可写为
式中a>b>0,且
得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为
设P(x0,y0),因P在C上,有
得切线AB的方程为
设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得
由
得M的坐标为(x,y),由x0,y0满足C的方程,得点M的轨迹方程为
;
(2)∵
∴
且当
即时,上式取等号
故的最小值为3。
如图,P是抛物线C:y=x2上一点,直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q,
(Ⅰ)若直线l与过点P的切线垂直,求线段PQ中点M的轨迹方程;
(Ⅱ)若直线l不过原点且与x轴交于点S,与y轴交于点T,试求的取值范围。
正确答案
解:(Ⅰ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),
依题意x1≠0,y1>0,y2>0,
由y=x2, ①
得y′=x,
∴过点P的切线的斜率k切=x1,
∴直线l的斜率kl=,
∴直线l的方程为,
联立①②消去y,得,
∵M是PQ的中点,
∴,
消去x1,得,
∴PQ中点M的轨迹方程为;
(Ⅱ)设直线l:y=kx+b,
依题意k≠0,b≠0,则T(0,b),
分别过P、Q作PP′⊥x轴,QQ′⊥y轴,垂足分别为P′、Q′,
则,
由消去x,得y2-2(k2+b)y+b2=0, ③
则y1+y2=2(k2+b),y1y2=b2,
∴,
∵y1、y2可取一切不相等的正数,
∴的取值范围是(2,+∞)。
扫码查看完整答案与解析