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题型:填空题
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填空题

如果点M(x,y)在运动过程中总满足关系式,-=4,则它的轨迹方程是______.

正确答案

设F1(0,-3),F2(0,3),

-=4,

∴||-|MF2 =4,

∵|F1F2|=6>4,

∴由双曲线的定义,知M的轨迹是双曲线的右支,

且2a=4,2c=6,

b2=9-4=5,

∴它的轨迹方程是-=1(y>0).

故答案为:-=1(y>0).

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题型:填空题
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填空题

设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标伸长为原来的3倍的伸压变换,则圆x2+y2=1在M的作用下的新曲线的方程是______.

正确答案

∵设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标伸长为原来的3倍的伸压变换,

∴M=

任意选取圆x2+y2=1上的一点P(x0,y0),它在矩阵M=

对应的变换下变为P'(x0′,y0′),则有=

∴4x0=x0,3y0=y0,即x0=x0,y0=y0

又因为点P在圆 x2+y2=1上,所以+=1,

∴在M的作用下的新曲线的方程为+=1.

故答案为:+=1.

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题型:简答题
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简答题

如图,P是抛物线C:y=x2上一点,直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q,

(Ⅰ)若直线l与过点P的切线垂直,求线段PQ中点M的轨迹方程;

(Ⅱ)若直线l不过原点且与x轴交于点S,与y轴交于点T,试求的取值范围。

正确答案

解:(Ⅰ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),

依题意x1≠0,y1>0,y2>0,

由y=x2, ①

得y′=x,

∴过点P的切线的斜率k=x1

∴直线l的斜率kl=

∴直线l的方程为

联立①②消去y,得

∵M是PQ的中点,

消去x1,得

∴PQ中点M的轨迹方程为

(Ⅱ)设直线l:y=kx+b,

依题意k≠0,b≠0,则T(0,b),

分别过P、Q作PP′⊥x轴,QQ′⊥y轴,垂足分别为P′、Q′,

消去x,得y2-2(k2+b)y+b2=0, ③

则y1+y2=2(k2+b),y1y2=b2

∵y1、y2可取一切不相等的正数,

的取值范围是(2,+∞)。

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题型:简答题
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简答题

在平面直角坐标系xOy中,有一个以F1(0,-)和F2(0,)为焦点、离心率为的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量

(1)点M的轨迹方程;

(2)的最小值。

正确答案

解:(1)椭圆方程可写为

式中a>b>0,且

得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为

设P(x0,y0),因P在C上,有

得切线AB的方程为

设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得

得M的坐标为(x,y),由x0,y0满足C的方程,得点M的轨迹方程为

(2)∵

且当

时,上式取等号

的最小值为3。

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题型:简答题
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简答题

如图,P是抛物线C:y=x2上一点,直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q,

(Ⅰ)若直线l与过点P的切线垂直,求线段PQ中点M的轨迹方程;

(Ⅱ)若直线l不过原点且与x轴交于点S,与y轴交于点T,试求的取值范围。

正确答案

解:(Ⅰ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),

依题意x1≠0,y1>0,y2>0,

由y=x2, ①

得y′=x,

∴过点P的切线的斜率k=x1

∴直线l的斜率kl=

∴直线l的方程为

联立①②消去y,得

∵M是PQ的中点,

消去x1,得

∴PQ中点M的轨迹方程为

(Ⅱ)设直线l:y=kx+b,

依题意k≠0,b≠0,则T(0,b),

分别过P、Q作PP′⊥x轴,QQ′⊥y轴,垂足分别为P′、Q′,

消去x,得y2-2(k2+b)y+b2=0, ③

则y1+y2=2(k2+b),y1y2=b2

∵y1、y2可取一切不相等的正数,

的取值范围是(2,+∞)。

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