- 曲线的方程
- 共349题
曲线C是平面内与两个定点F1（-1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2（a＞1）的点的轨迹，
给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积大于
正确答案
②③
已知椭圆C：
（I）求椭圆C的离心率：
（II）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且
正确答案
（I）∵椭圆C：
∴c=1，2a=PF1+PF2=
∴椭圆的离心率e=
（II）由（I）知，椭圆C的方程为
（1）当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于（0，1）、（0，-1）两点，此时点Q的坐标为（0，2-
（2）当直线l与x轴不垂直时，可设其方程为y=kx+2，
因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为（x1，kx1+2），（x2，kx2+2），则
|AM|2=(1+k2)x1 2，|AN|2=(1+k2)x2 2，又|AQ|2=（1+k2）x2，
∴
将y=kx+2代入
由△=（8k）2-24（2k2+1）＞0，得k2＞
由②知x1+x2=-
因为点Q在直线y=kx+2上，所以k=
由③及k2＞
由题意，Q（x，y）在椭圆C内，所以-1≤y≤1，
又由10（y-2）2-3x2=18得（y-2）2∈[
所以，点Q的轨迹方程为10（y-2）2-3x2=18，其中x∈（-
已知常数a＞0，向量c=（0，a），=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i-2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R，试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值，若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由。
正确答案
解：∵c=（0，a），=（1，0），
∴c+λ=（λ，a），i-2λc=（1，-2λa），
因此，直线OP和AP的方程分别为λy=ax和y-a=-2λax，
消去参数λ，得点P（x，y）的坐标满足方程y（y-a）=-2a2x2，
整理得
因为a＞0，所以得
（Ⅰ）当
（Ⅱ）当
（Ⅲ）当
已知点C（1，0），点A，B是⊙O：x2+y2=9上任意两个不同的点，且满足
（1）求点P的轨迹T的方程；
（2）试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x=-1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由。
正确答案
解：（1）连接CP，由
∴
由垂径定理知|OP|2+|AP|2=|OA|2，即|OP|2+|CP|2=9
设点P（x，y），有（x2+y2）+[（x-1）2+y2]=9，
化简，得到x2-x+y2=4。
（2）根据抛物线的定义，到直线x=-1的距离等于
到点C（1，0）的距离的点都在抛物线y2=2px上，
其中
∴p=2，故抛物线方程为y2=4x
由方程组
得x2+3x-4=0，
解得x1=1，x2=-4
由于x≥0，故取x=1，此时y=±2
故满足条件的点存在，其坐标为（1，-2）和（1，2）。
对曲线x4+y2=1的图象，下面四个命题：
①关于x轴、y轴对称；
②有且只有一个对称中心；
③封闭且面积大于π；
④封闭且面积于小π．其中正确命题的序号是______．
正确答案
以-x代替 x，方程不变，以-y代替y，方程也不变，同时以x代替 x、-y代替y，方程也不变，
说明曲线关于x轴、y轴、原点对称，
又∵y2=（1-x2）•（1+x2）≥（1-x2）∴x2+y2≥1
∴曲线上任意一点到原点的距离都大于或等于1，（当且仅当 x=0时，等于1）
故答案选 ①②③
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