曲线的方程
共349题

· 曲线的方程

曲线的方程
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题型：简答题

简答题

已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1，

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

正确答案

解：（Ⅰ）设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，

由已知得，解得a=4，c=3，

所以椭圆C的标准方程为；

（Ⅱ）设M（x，y），其中x∈[-4，4]，

由已知及点P在椭圆C上可得，

整理得，其中x∈[-4，4]，

（ⅰ）时，化简得，

所以点M的轨迹方程为，轨迹是两条平行于x轴的线段；

（ⅱ）时，方程变形为，其中x∈[-4，4]，

当时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4≤x≤4的部分；

当时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4≤x≤4的部分；

当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆。

题型：简答题

简答题

已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1，

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若P为椭圆C的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，（e为椭圆C的离心率），求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

正确答案

解：（Ⅰ）设椭圆长半轴长及分别为a，c，

由已知得，解得a=4，c=3，

所以椭圆C的方程为；

（Ⅱ）设M（x，y），P(x，y1)，其中，

由已知得，

而， ①

由点P在椭圆C上得，

代入①式并化简得，

所以点M的轨迹方程为，轨迹是两条平行于x轴的线段。

题型：简答题

简答题

已知椭圆C：=1（a>b>1）的离心率为e=，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线

x-y+2=0相切，A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若P与A，B均不重合，设直线的斜率分别为k1，k2，求k1·k2的值；

（3）M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

正确答案

解：(1)由题意可得圆的方程为，∵直线x-y+2=0与圆相切

∴d==b

即b=，又，即a=c，，得a=，c=1

所以椭圆方程为：

（2）设P（x0，y0）（y0≠0），A（-，0），则，即

则，即

∴k1·k2的值为；

（3）设M（x，y），其中x∈[-，]

由已知及点P在椭圆C上可得

整理得，其中x∈[-，]

①当时，化简得y2=6，所以点M的轨迹方程为，

轨迹是平行于x轴的线段；

②当时，点M的轨迹为中心在原点，长轴在x轴上的椭圆满足的部分。

题型：简答题

简答题

已知椭圆C：的离心率，且过点（0，），A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，求k1·k2的值；

（3）M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若，求点M的轨迹方程．

正确答案

解：（1）由题意，可得，

又即

∴

所以，椭圆的方程为

（2）设

则，

即，

∴。

（3）设，其中，

由已知及点P在椭圆上可得

整理，得其中。

题型：简答题

简答题

设P（a，b）（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点(1，b)的直线，记Q是直线l与抛物线x2=2py（p≠0）的异于原点的交点，

（1）若a=1，b=2，p=2，求点Q的坐标；

（2）若点P（a，b）（ab≠0）在椭圆+y2=1上，p=，求证：点Q落在双曲线4x2-4y2=1上；

（3）若动点P(a，b)满足ab≠0，p=，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由。

正确答案

解：（1）当a=1，b=2，p=2时，

解方程组，

即点Q的坐标为（8，16）；

（2）由方程组，即点Q的坐标为，

∵P是椭圆上的点，即，

，

因此点Q落在双曲线上。

（3）设Q所在的抛物线方程为，

将代入方程，得，

当c=0时，，此时点P的轨迹落在抛物线上；

当，此时点P的轨迹落在圆上；

当，此时点P的轨迹落在椭圆上；

当qc＜0时，，此时点P的轨迹落在双曲线上。

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