- 曲线的方程
- 共349题
（2015•固原校级模拟）方程|y|-1=
正确答案
解析
解：方程|y|-1=
y≤-1时，（x-1）2+（y+1）2=1；y≥1时，（x-1）2+（y-1）2=1；
∴方程|y|-1=
故选：A．
设曲线C的方程是y=x3-x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1．
（1）写出曲线C1的方程；
（2）证明曲线C与C1关于点A（
（3）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s=
正确答案
（1）解：曲线C1的方程为 y=（x-t）3-（x-t）+s．
（2）证明：在曲线C上任取一点B1（x1，y1）．设B2（x2，y2）是B1关于点A的对称点，
则有
代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程：
s-y2=（t-x2）3-（t-x2），即y2=（x2-t）3-（x2-t）+s，可知点B2（x2，y2）在曲线C1上．
反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上．
因此，曲线C与C1关于点A对称．
（3）证明：因为曲线C与C1有且仅有一个公共点，所以，方程组
消去y，整理得 3tx2-3t2x+（t3-t-s）=0，这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根．
所以t≠0并且其根的判别式△=9t4-12t（t3-t-s）=0，即
所以
解析
（1）解：曲线C1的方程为 y=（x-t）3-（x-t）+s．
（2）证明：在曲线C上任取一点B1（x1，y1）．设B2（x2，y2）是B1关于点A的对称点，
则有
代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程：
s-y2=（t-x2）3-（t-x2），即y2=（x2-t）3-（x2-t）+s，可知点B2（x2，y2）在曲线C1上．
反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上．
因此，曲线C与C1关于点A对称．
（3）证明：因为曲线C与C1有且仅有一个公共点，所以，方程组
消去y，整理得 3tx2-3t2x+（t3-t-s）=0，这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根．
所以t≠0并且其根的判别式△=9t4-12t（t3-t-s）=0，即
所以
（2015秋•上海校级期中）如果命题“坐标满足方程F（x，y）=0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题正确的是（ ）
正确答案
解析
解：∵命题“坐标满足方程f（x，y）=0的点都在曲线C上”不正确，
∴命题“坐标满足方程f（x，y）=0的点不都在曲线C上”正确，
即“至少有一个不在曲线C上的点，其坐标满足方程f（x，y）=0”．
因此D正确．
故选：D．
在平面直角坐标系xoy中，已知三点O（0，0），A（-1，1），B（1，1），曲线C上任意-点M（x，y）满足：
（l）求曲线C的方程；
（2）设点P是曲线C上的任意一点，过原点的直线L与曲线相交于M，N两点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN．试探究kPM•kPN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论；
（3）设曲线C与y轴交于D、E两点，点M （0，m）在线段DE上，点P在曲线C上运动．若当点P的坐标为（0，2）时，
正确答案
解：（1）由题意，可得
∵A（-1，1），B（1，1），M（x，y）
∴
由此可得，
又∵
∴
化简整理得：
（2）因为过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，
所以可设P（x，y），M（x0，y0），N（-x0，-y0）．
∴P，M，N在椭圆上，
∴
①-②，得
又∵
∴
因此，kPM•kPN的值恒等于-
（3）由于P（x，y）在椭圆C：
∵
∴|
由题意，点P的坐标为（0，2）时，
即当y=2时，
又∵椭圆C与y轴交于D、E两点的坐标为（0，2）、（0，-2），而点M在线段DE上，即-2≤m≤2，
∴
解析
解：（1）由题意，可得
∵A（-1，1），B（1，1），M（x，y）
∴
由此可得，
又∵
∴
化简整理得：
（2）因为过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，
所以可设P（x，y），M（x0，y0），N（-x0，-y0）．
∴P，M，N在椭圆上，
∴
①-②，得
又∵
∴
因此，kPM•kPN的值恒等于-
（3）由于P（x，y）在椭圆C：
∵
∴|
由题意，点P的坐标为（0，2）时，
即当y=2时，
又∵椭圆C与y轴交于D、E两点的坐标为（0，2）、（0，-2），而点M在线段DE上，即-2≤m≤2，
∴
已知方程：（m-1）x2+（3-m）y2=（m-1）（3-m）表示焦距为8的双曲线，则m 的值等于______．
正确答案
-6或10
解析
解：当m＜1时，方程可化为
当m＞3时，方程可化为
综上可知，m=-6或10
故答案为：-6或10
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