- 曲线的方程
- 共349题
将曲线x2+y2=4上各点的纵坐标缩短到原来的
A
Bx2+4y2=4
C
D4x2+y2=4
正确答案
解析
解：在所得曲线的方程上取点（x，y），则点（x，2y）在曲线x2+y2=4上，
∴x2+4y2=4
故选B．
设曲线C的方程是y=x3-x，将C沿x，y轴正方向分别平移t，s（t≠0）个单位长度后得到曲线C1．
（1）写出曲线C1的方程；
（2）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明：s=
正确答案
（1）解：根据题意，将C沿x轴、正向平移t单位长度后，x变为x-t，将C沿y轴正向平移s单位长度后，y 变为y-s，则可得C1：y-s=（s-t）3-（x-t）．①
（2）证明：因为曲线C与C1有且仅有一个公共点，所以，方程组曲线C与C1联立，有且仅有一组解．
消去y，整理得 3tx2-3t2x+（t3-t-s）=0，这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根．
所以t≠0并且其根的判别式△=9t4-12t（t3-t-s）=0，即
所以s=
解析
（1）解：根据题意，将C沿x轴、正向平移t单位长度后，x变为x-t，将C沿y轴正向平移s单位长度后，y 变为y-s，则可得C1：y-s=（s-t）3-（x-t）．①
（2）证明：因为曲线C与C1有且仅有一个公共点，所以，方程组曲线C与C1联立，有且仅有一组解．
消去y，整理得 3tx2-3t2x+（t3-t-s）=0，这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根．
所以t≠0并且其根的判别式△=9t4-12t（t3-t-s）=0，即
所以s=
设集合M={（x，y）|x2+y2=a，x≤0，y∈R}，N={（x，y）|2x+y=0，x≥0，y∈R}，若M∩N恰有两个子集，则由符合题意的a构成的集合为______．
正确答案
{1}
解析
解：由题意可知，a＞0．
集合M={（x，y）|x2+y2=a，x≤0，y∈R}的轨迹是以原点为圆心，以
集合N={（x，y）|2x+y=0，x≥0，y∈R}，图象如图，
要使M∩N恰有两个子集，则M∩N恰有一个元素，
由图象可知，只有
∴由符合题意的a构成的集合为{1}．
故答案为{1}．
已知直角坐标系中圆C方程为F（x，y）=0，P（x0，y0）为圆内一点（非圆心），那么方程F（x，y）=F（x0，y0）所表示的曲线是（ ）
正确答案
解析
解：设圆C方程为F（x，y）=x2+y2+Dx+Ey+F=0，圆的圆心坐标为（
∵P（x0，y0）为圆内一点，
∴F（x0，y0）＜0，即x02+y02+Dx0+Ey0+F＜0，
∴x2+y2+Dx+Ey+F-（x02+y02+Dx0+Ey0+F）=0
令F′=-（x02+y02+Dx0+Ey0），则F′＞F
∴F（x，y）-F（x0，y0）=0表示圆，圆的圆心坐标为（
且
∴方程F（x，y）=F（x0，y0）所表示的曲线是比圆C半径小，与圆C同心的圆
故选B．
两条曲线的方程分别是f1（x，y）=0和f2（x，y）=0，它们的交点是P（x0，y0），若曲线C的方程为λ1f1（x，y）+λ2f2（x，y）=0 （λ1、λ2不全为0），则有（ ）
正确答案
解析
解：∵P（x0，y0），是f1（x，y）=0，f2（x，y）=0的交点，∴f1（x0，y0）=0，f2（x0，y0）=0，
则方程λ1f1（x0，y0）+λ2f2（x0，y0）=0，即方程λ1f1（x0，y0）+λ2f2（x0，y0）=0，
故选：A．
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