- 对数函数模型的应用
- 共1344题
某公司要改制成股份公司，原来准备每人平均投资入股，正式统计时有10人表示不参加，因此其余每人要多分担1万元，到实际付款时，又有15人决定退出，这样最后余下的每人要再增加2万元，求统计入股之前有多少人准备入股？统计入股前每人应交多少万元？
正确答案
设统计入股之前有x人准备入股，每人应交y万，
由题意得 （x-10）（y+1）=xy且（x-25）（y+3）=xy
解得 x=100，y=9
答：统计入股之前有100人准备入股，每人应交9万．
某工厂日生产某种产品最多不超过30件，且在生产过程中次品率p与日产量x（x∈N+）件间的关系为
p=
（Ⅰ）将日利润y（元）表示为日产量x（件）的函数；
（Ⅱ）该厂的日产量为多少件时，日利润最大？
（注：次品率p=
正确答案
（Ⅰ）由题意得：
y=
=
（II）当0＜x≤15时，y=2500x-20x2，
∴当x=15时，y取得最大值33000元…6分
当15＜x≤30时，y=2500x-
则y′=2500-4x2，令y′=0，则x=25
∵当15＜x≤25时，y′≥0，当25＜x≤30，y′＜0…8分
故当x=25时，y取得最大值
∵33000＜
∴当x=25时，y取得最大值
即该厂的日产量为25件时，日利润最大…12分
某专卖店销售一新款服装，日销售量（单位为件）f（n）与时间n（1≤n≤30、n∈N*）的函数关系如下图所示，其中函数f（n）图象中的点位于斜率为5和-3的两条直线上，两直线交点的横坐标为m，且第m天日销售量最大．
（Ⅰ）求f（n）的表达式，及前m天的销售总数；
（Ⅱ）按以往经验，当该专卖店销售某款服装的总数超过400件时，市面上会流行该款服装，而日销售量连续下降并低于30件时，该款服装将不再流行．试预测本款服装在市面上流行的天数是否会超过10天？请说明理由．
正确答案
（I）根据题意，设f（n）=
而f（1）=2，∴5+a=2Þa=-3．
又5m+a=-3m+b，∴b=8m+a=8m-3，
∴f（n）=
由f（m）=57得m=12．
∴f（n）=
前12天的销售总量为5（1+2+3++12）-3×12=354件．
（II）第13天的销售量为f（13）=-3×13+93=54件，
而354+54＞400件，
∴从第14天开始销售总量超过400件，即开始流行．
设第x天的日销售量开始低于30件（12＜x≤30），
即f（x）=-3x+93＜30，
解得x＞21．
∴从第22天开始日销售量低于30件．
∵21-13=8，
∴该服装流行的时间不超过10天．
某种汽车购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费共计约0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元．问这种汽车使用多少年报废最合算？（最佳报废时间也就是年平均费用最低的时间）
正确答案
设使用x年平均费用最少，由于“年维修费用第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元”，可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列，因此汽车使用x年总维修费用为
设汽车的年平均费用为y万元，则有y=
此时
某小型机械厂共有工人100名，工人年薪4万元/人．据悉该厂每年生产x台机器，除工人工资外，还需投入成本C（x）（万元），C（x）=
（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x的函数解析式；
（Ⅱ）求年产量为多少台时，该厂在生产中所获利润最大？
正确答案
（Ⅰ）利用售价减成本，减工人工资，可得年利润
L（x）=
（Ⅱ）当0＜x＜70时，L（x）=-
∴x=60时，L（x）取得最大值800万元；
当70≤x≤150时，L（x）=1050-（x+
当且仅当x=
综上，年产量为100台时，该厂在生产中所获利润最大，最大为850万元．
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