- 对数函数模型的应用
- 共1344题
某公司要改制成股份公司,原来准备每人平均投资入股,正式统计时有10人表示不参加,因此其余每人要多分担1万元,到实际付款时,又有15人决定退出,这样最后余下的每人要再增加2万元,求统计入股之前有多少人准备入股?统计入股前每人应交多少万元?
正确答案
设统计入股之前有x人准备入股,每人应交y万,
由题意得 (x-10)(y+1)=xy且(x-25)(y+3)=xy
解得 x=100,y=9
答:统计入股之前有100人准备入股,每人应交9万.
某工厂日生产某种产品最多不超过30件,且在生产过程中次品率p与日产量x(x∈N+)件间的关系为
p=,每生产一件正品盈利2900元,每出现一件次品亏损1100元.
(Ⅰ)将日利润y(元)表示为日产量x(件)的函数;
(Ⅱ)该厂的日产量为多少件时,日利润最大?
(注:次品率p=×100%,正品率=1-p)
正确答案
(Ⅰ)由题意得:
y=
=(6分)
(II)当0<x≤15时,y=2500x-20x2,
∴当x=15时,y取得最大值33000元…6分
当15<x≤30时,y=2500x-x3
则y′=2500-4x2,令y′=0,则x=25
∵当15<x≤25时,y′≥0,当25<x≤30,y′<0…8分
故当x=25时,y取得最大值元…10分
∵33000<
∴当x=25时,y取得最大值元
即该厂的日产量为25件时,日利润最大…12分
某专卖店销售一新款服装,日销售量(单位为件)f(n)与时间n(1≤n≤30、n∈N*)的函数关系如下图所示,其中函数f(n)图象中的点位于斜率为5和-3的两条直线上,两直线交点的横坐标为m,且第m天日销售量最大.
(Ⅰ)求f(n)的表达式,及前m天的销售总数;
(Ⅱ)按以往经验,当该专卖店销售某款服装的总数超过400件时,市面上会流行该款服装,而日销售量连续下降并低于30件时,该款服装将不再流行.试预测本款服装在市面上流行的天数是否会超过10天?请说明理由.
正确答案
(I)根据题意,设f(n)=,(n∈N*)
而f(1)=2,∴5+a=2Þa=-3.
又5m+a=-3m+b,∴b=8m+a=8m-3,
∴f(n)=.(n∈N*)
由f(m)=57得m=12.
∴f(n)=(n∈N*)
前12天的销售总量为5(1+2+3++12)-3×12=354件.
(II)第13天的销售量为f(13)=-3×13+93=54件,
而354+54>400件,
∴从第14天开始销售总量超过400件,即开始流行.
设第x天的日销售量开始低于30件(12<x≤30),
即f(x)=-3x+93<30,
解得x>21.
∴从第22天开始日销售量低于30件.
∵21-13=8,
∴该服装流行的时间不超过10天.
某种汽车购车费用是10万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费共计约0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元.问这种汽车使用多少年报废最合算?(最佳报废时间也就是年平均费用最低的时间)
正确答案
设使用x年平均费用最少,由于“年维修费用第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元”,可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项,0.2万元为公差的等差数列,因此汽车使用x年总维修费用为x万元.
设汽车的年平均费用为y万元,则有y==1+
+
≥1+2=3,
此时=
,解得x=10或-10(舍去),即当使用10年时年平均费用y最小.即这种汽车使用10年报废最合算.
某小型机械厂共有工人100名,工人年薪4万元/人.据悉该厂每年生产x台机器,除工人工资外,还需投入成本C(x)(万元),C(x)=,且每台机器售价为50万元.通过市场分析,该厂生产的机器能全部售完.
(Ⅰ)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x的函数解析式;
(Ⅱ)求年产量为多少台时,该厂在生产中所获利润最大?
正确答案
(Ⅰ)利用售价减成本,减工人工资,可得年利润
L(x)==
;
(Ⅱ)当0<x<70时,L(x)=-(x-60)2+800
∴x=60时,L(x)取得最大值800万元;
当70≤x≤150时,L(x)=1050-(x+)≤1050-2
=850
当且仅当x=,即x=100时,L(x)取得最大值850万元
综上,年产量为100台时,该厂在生产中所获利润最大,最大为850万元.
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