- 分段函数模型的应用
- 共567题
已知函数f（x）=
正确答案
解析
解：由对任意的实数x1，x2（x1≠x2）都有
f（x）在R上递减，
由函数f（x）=
解得m≥3或-4＜m≤-1．
故选：D．
设函数f（x）=
正确答案
{x|-3＜x＜1或x＞3}
解析
解：∵f（1）=3
当x＜0时，令x+6＞3有x＞-3，又∵x＜0，∴-3＜x＜0，
当x≥0时，令x2-4x+6＞3，∴x＞3或x＜1，∵x≥0，∴x＞3或0≤x＜1，
综上不等式的解集为：{x|-3＜x＜1或x＞3}；
故答案为：{x|-3＜x＜1或x＞3}．
已知函数f（x）=
正确答案
[-1，1]
解析
解：当a≥0时，-a≤0，f（-a）+f（a）≤2f（1）
即为a2+2a+a2+2a≤6，即a2+2a-3≤0，解得-3≤a≤1，
即有0≤a≤1；
当a＜0时，-a＞0，f（-a）+f（a）≤2f（1）
即为a2-2a+a2-2a≤6，即a2-2a-3≤0，解得-1≤a≤3，
即为-1≤a＜0．
则a的取值范围是[-1，1]．
故答案为：[-1，1]．
（2015春•湖南校级月考）已知f（x）=ex-a|x-1|-1（其中无理数e=2.71828…，实数a＞-e）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若g（x）=ln（ex+a）-lnx，当e＜a＜e2时，求证：对任意实数x＞lna，不等式f（g（x））＜f（2x）恒成立．
正确答案
解：（1）f（x）=
则f′（x）=
分三种情况讨论．
①若-e＜a＜0，当x≥1，f′（x）=ex-a＞0，
当x＜1时，f′（x）=ex+a=0，解得x=ln（-a），当x＜ln（-a）时，f′（x）＜0，
当ln（-a）＜x＜1时，f′（x）＞0，
即有f（x）在（-∞，ln（-a））递减，在（ln（-a），+∞）递增；
②当0≤a≤e时，当x＜1时，f′（x）=ex+a＞0，当x≥1时，f′（x）=ex-a≥0，
由f（x）的图象为连续不断的曲线，即有f（x）在R上递增；
③若a＞e，当x＜1，f′（x）=ex+a＞0，
当x≥1时，f′（x）=ex-a=0，解得x=lna∈（1，+∞），
当1＜x＜lna时，f′（x）＜0，
当x＞lna时，f′（x）＞0，
即有f（x）在（-∞，1），（lna，+∞）递增，在（1，lna）递减．
（2）证明：先证g（x）＞lna对任意x＞lna成立，
由g（x）＞lna即为ln（ex+a）-lnx＞lna即为ex+a-ax＞0，
令h（x）=ex+a-ax（x＞lna），
则当x＞lna时，h′（x）=ex-a＞0，即h（x）在（lna，+∞）递增，
且当e＜a＜e2时，h（lna）=a+a-alna=a（2-lna）＞0，故h（x）＞0，
从而g（x）＞lna对任意x＞lna成立．
再证g（x）＜2x对任意x＞lna成立，由g（x）＜2x即为ln（ex+a）-lnx＜2x，即为xe2x-a-ex＞0，
令H（x）=xe2x-a-ex＞0（x＞lna），则H′（x）=ex（（2x+1）ex-1）＞0，
即H（x）在（lna，+∞）上递增．
即H（lna）=a（alna-2）＞a（a-2）＞0，故g（x）＜2x对任意x＞lna恒成立．
综上可得当e＜a＜e2时，对任意实数x＞lna，不等式f（g（x））＜f（2x）恒成立．
解析
解：（1）f（x）=
则f′（x）=
分三种情况讨论．
①若-e＜a＜0，当x≥1，f′（x）=ex-a＞0，
当x＜1时，f′（x）=ex+a=0，解得x=ln（-a），当x＜ln（-a）时，f′（x）＜0，
当ln（-a）＜x＜1时，f′（x）＞0，
即有f（x）在（-∞，ln（-a））递减，在（ln（-a），+∞）递增；
②当0≤a≤e时，当x＜1时，f′（x）=ex+a＞0，当x≥1时，f′（x）=ex-a≥0，
由f（x）的图象为连续不断的曲线，即有f（x）在R上递增；
③若a＞e，当x＜1，f′（x）=ex+a＞0，
当x≥1时，f′（x）=ex-a=0，解得x=lna∈（1，+∞），
当1＜x＜lna时，f′（x）＜0，
当x＞lna时，f′（x）＞0，
即有f（x）在（-∞，1），（lna，+∞）递增，在（1，lna）递减．
（2）证明：先证g（x）＞lna对任意x＞lna成立，
由g（x）＞lna即为ln（ex+a）-lnx＞lna即为ex+a-ax＞0，
令h（x）=ex+a-ax（x＞lna），
则当x＞lna时，h′（x）=ex-a＞0，即h（x）在（lna，+∞）递增，
且当e＜a＜e2时，h（lna）=a+a-alna=a（2-lna）＞0，故h（x）＞0，
从而g（x）＞lna对任意x＞lna成立．
再证g（x）＜2x对任意x＞lna成立，由g（x）＜2x即为ln（ex+a）-lnx＜2x，即为xe2x-a-ex＞0，
令H（x）=xe2x-a-ex＞0（x＞lna），则H′（x）=ex（（2x+1）ex-1）＞0，
即H（x）在（lna，+∞）上递增．
即H（lna）=a（alna-2）＞a（a-2）＞0，故g（x）＜2x对任意x＞lna恒成立．
综上可得当e＜a＜e2时，对任意实数x＞lna，不等式f（g（x））＜f（2x）恒成立．
已知函数f（x）=
（1）求m，n的值；
（2）若关于x的不等式组
正确答案
解：（1）由已知f（x）=
=
所以函数在区间[2，m]上为增函数，
因为定义域和值域均为[2，m]（m＞2），
所以
解得m=
（2）设f（x）=
当x=-
由题意知a≤1，且f（a）=f（b）=b，a＜b；
由f（b）=b得
解得b=
∵抛物线的对称轴为x=2，
∴a=0；
即为a=0，b=4．
解析
解：（1）由已知f（x）=
=
所以函数在区间[2，m]上为增函数，
因为定义域和值域均为[2，m]（m＞2），
所以
解得m=
（2）设f（x）=
当x=-
由题意知a≤1，且f（a）=f（b）=b，a＜b；
由f（b）=b得
解得b=
∵抛物线的对称轴为x=2，
∴a=0；
即为a=0，b=4．
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