- 对数函数模型的应用
- 共1344题
近年来玉制小挂件备受人们的青睐，某玉制品厂去年的年产量为10万件，每件小挂件的销售价格平均为100元，生产成本为80元．从今年起工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本，预计产量每年递增1万件．设第n年每件小挂件的生产成本g(n)=
（1）求f（n）的表达式；
（2）问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？
正确答案
（1）由题意得，f(n)=(10+n)×100-(10+n)×
=1000-
（2）f(n)=1000-80[
由
因此第8年利润最高为520万元．…（14分）
某厂2006年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与去年促销费m（万元）（m≥0）满足x=3-
（1）将2006年该产品的利润y万元表示为年促销费m（万元）的函数；
（2）求2006年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元？
正确答案
（I）每件产品的成本为
今年的利润y=1.5×
所以，所求的函数为y=28-m-
（II）因为函数y=28-m-
当且仅当
所以，今年该产品利润的最大值为21万元，此时年促销费为3万元．
两个重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车．已知该车每次拖4节车厢，一日能来回16次，如果每次拖7节车厢，则每日能来回10次．
（1）若每日来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数解析式；
（2）在（1）的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．
正确答案
（1）设每日来回y次，每次挂x节车厢，由题意y=kx+b…（1分）
由已知可得方程组：
解得：k=-2，b=24…（3分）
∴y=-2x+24
（2）设每日火车来回y次，每次挂x节车厢，设每日可营运S节车厢．
由题意知，每日挂车厢最多时，营运人数最多，则S=xy=x（-2x+24）=-2x2+24x=-2（x-6）2+72…（6分）
所以当x=6时，Smax=72（节） …（7分）
此时y=12，故每日最多运营人数为110×72=7920（人）
答：这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7920人．…（8分）
鹤山公园停车场预计“十•一”国庆节这天停放大小汽车1200辆次，该停车场的收费标准为：大车每辆次10元，小车每辆次5元．根据依据，解答下面问题：
（1）写出国庆这天停车场的收费金额y（元）与小车停放辆次x（辆）之间的函数关系式，并指出x的取值范围；
（2）如果国庆这天停放的小车占停车总辆数的65%-85%，请你估计国庆这天该停车场收费金额的范围．
正确答案
（1）依题意，得y=5x+10=-5x+12000，（其中0≤x≤1200）；
（2）∵1200×65%≤x≤1200×85%，即780≤x≤1020；
函数y=-5x+12000在[780，1020]上为减函数，
∴-5×1020+12000≤y≤-5×780+12000，即6900≤y≤8100；
所以，国庆这天停车场收费的金额范围为[6900，8100]．
某青年企业家准备在北川禹里乡投资修建一个有30个房间供旅客住宿的旅游度假村，并将其全部利润用于灾后重建．据测算，若每个房间的定价为60元/天，房间将会住满；若每个房间的定价每增加5元∕天时，就会有一个房间空闲．度假村对旅客住宿的房间将支出各种费用20元/天•间（没住宿的不支出）．问房价每天定为多少时，度假村的利润最大？
正确答案
设每天的房价为60+5x元，
则有x个房间空闲，已住宿了30-x个房间．
∴度假村的利润y=（30-x）（60+5x）-20（30-x），其中0≤x≤30．
∴y=（30-x）•5•（8+x）
=5（240+22x-x2）
=-5（x-11）2+1805．
因此，当x=11时，y取得最大值1805元，
即每天房价定为115元∕间时，度假村的利润最大．
扫码查看完整答案与解析