- 对数函数模型的应用
- 共1344题
上海是我国最早跨入老年社会的城市，而且人口老龄化速度非常快．据统计资料显示：浦东新区1995年末老年人口有17.41万人，到2005年末老年人口达34.82万人，设老年人口的年平均增长率为a，从1995年末起经过x年的老年人口数为f（x）．（即f（0）表示1995年末的老年人口数、f（1）表示1996年末的老年人口数）
（1）求年平均增长率a的值；并写出函数f（x）的解析式；
（2）预算浦东新区到2010年末老年人口数．（精确到0.01万人）
正确答案
（1）依题意得17.41•（1+a）10=34.82⇒(1+a)10=2⇒a=
所以f（x）=17.41•（1+a）x即函数f(x)=17.41•2x10， (x∈N)；…（5分）
（2）由f(x)=17.41•2x10， (x∈N)，即2010年末老年人口数f(15)=17.41•21510=17.41•2
所以浦东新区到2010年末老年人口数约49.24万人．…（8分）
小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W（x）万元，在年产量不足8万件时，W(x)=
（I）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；
（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）
（II）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
正确答案
（I）因为每件产品售价为5元，则x（万件）商品销售收入为5x万元，依题意得：
当0＜x＜8时，L（x）=5x-（
当x≥8时，L（x）=5x-（6x+
∴L（x）=
（II）当0＜x＜8时，L（x）=-
当x≥8时，L（x）=35-（x+
此时，当x=
∵9＜15，
∴年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元．
某股票爱好者通过调查统计发现，深圳股市某新上市股票在上市的30天中，前20天其每股价格直线上升，后10天每股价格呈直线下降趋势．现抽取其中4天的价格如下表所示
（Ⅰ）写出每股股票价格f（x）关于时间x的函数表达式（x表示上市的第x天）；
（Ⅱ）若股票交易量g（x）（单位：万股）与时间x的函数关系式为g（x）=-x+50（1≤x≤30，x∈N），求该股票上市第几天，日交易总额最高，并求出最高交易额．
正确答案
（Ⅰ）f(x)=
（Ⅱ）设该股票日交易额为y元，则y=f(x)g(x)=
当1≤x≤19，x∈N时，y=（x+30）（50-x）=-（x-10）2+1600
对称轴为x=10，开口向下，
当x=10时，ymax=1600
当20≤x≤30，x∈N时，y=（90-2x）（50-x）=2x2-190x+4500
对称轴为x=
综上，当x=10时，函数y取得最大值，且ymax=1600
即该股票上市第10天，日交易总额最高，最高交易额为1600万元．
进货原价为80元的商品400个，按90元一个售出时，可全部卖出．已知这种商品每个涨价一元，其销售数就减少20个，问售价应为多少时所获得利润最大？
正确答案
设售价在90元的基础上涨x元，则0＜x≤20．
因为这种商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，
所以若涨x元，则销售量减少20x
按90元一个能全部售出，
则按90+x元售出时，能售出400-20x个，
每个的利润是90+x-80=10+x元
设总利润为y元，
则y=（10+x）（400-20x）=-20x2+200x+4000（0＜x≤20），对称轴为x=5
所以x=5时，y有最大值，售价则为95元
所以售价定为每个95元时，利润最大．
某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元价格退回报社．在一个月（以30天计）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？
正确答案
设摊主每天从报社买进x份，
显然当x∈[250，400]时，每月所获利润才能最大．（2分）
于是每月所获利润y为
y=20•0.30x+10•0.30•250+10•0.05•（x-250）-30•0.20x（6分）
=0.5x+625，x∈[250，400]．（8分）
因函数y在[250，400]上为增函数，
故当x=400时，y有最大值825元．（14分）
答：这个摊主每天从报社买进400份，才能使每月所获的利润最大，并计算他一个月最多可赚得825元．
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