- 对数函数模型的应用
- 共1344题
某公司拟投资100万元，有两种获利的可能提供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利计算，5年后收回本金和利息，哪一种投资更有利？5年后，这种有利的投资比另一种投资可多得利息多少元？（可用计算器计算）
注：单利是每年都只计算本金的利息，即投资100万元，每年都按100万元利率10%计算利息；
复利是投资100万元，每年把本金和利息加起来作为下一年的本金计算利息，即每年本利和（本金和利息的和）都比上一年增长9%．
正确答案
100万元，按单利计算时，年利率10%，5年后的本息和为100×（1+10%×5）=150（万元）；
100万元，按复利计算时，年利率9%，5年后的本息和为100×（1+9%）5≈153.86（万元）；
由此可知，按年利率9%的复利计算投资时，要比年利率10%的单利计算投资更有利，5年后可多的利息3.86万元．
已知某企业原有员工2000人，每人每年可为企业创利润3.5万元．为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗．为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元，据评估，若待岗员工人数为x，则留岗员工每人每年可为企业多创利润（1-
正确答案
设重组后，该企业年利润为y万元，则由题意，x≤2000×5%，得x≤100（x∈N），
y=（2000-x）（3.5+1-
∵x+
∴x=18时，y≤9000.81-180=8820.81，
∴为使企业年利润最大，应安排18人待岗．
某学校拟建一块周长为400m的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？
正确答案
设矩形的长为xm，半圆的直径是d，中间的矩形区域面积是Sm2，根据题意，知
S=dx，且2x+πd=400．
∴S=dx=
πd+2x
2
)2=
当且仅当πd=2x=200，即x=100时等号成立，此时，d=
所以，应设计矩形的长为100m，宽约为63.7m时，矩形面积最大．
某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数P与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14，40]时，曲线是函数y=logα（x-5）+83（a＞0且a≠1）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数P大于等于80时听课效果最佳．
（1）试求P=f（t）的函数关系式；
（2）老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？
请说明理由．
正确答案
（1）t∈（0，14]时，设p=f（t）=c（t-12）2+82（c＜0），
将（14，81）代入得c=-
t∈（0，14]时，p=f（t）=-
t∈（14，40]时，将（14，81）代入y=loga（x-5）+83，得a=
∴p=f(t)=
（2）t∈（0，14]时，-
解得12-2
∴t∈[12-2
t∈[14，40]时，log13（t-5）+83≥80解得5＜t≤32，
∴t∈[14，32]，∴t∈[12-2
即老师在t∈[12-2
某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f（n）表示前n年的纯利润总和（f（n）=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额）．
（1）该厂从第几年开始盈利？
（2）若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方法：①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案更合算？
正确答案
（1）由题意，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，可知每年的支出构成一个等差数列，用g（n）表示前n年的总支出，
∴g（n）=12n+
∵f（n）=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额
∴f（n）=50n-（2n2+10n）-72=-2n2+40n-72．…（3分）
由f（n）＞0，即-2n2+40n-72＞0，解得2＜n＜18．…（5分）
由n∈N*知，从第三年开始盈利．…（6分）
（2）方案①：年平均纯利润为
当且仅当n=6时等号成立．…（8分）
故方案①共获利6×16+48=144（万元），此时n=6．…（9分）
方案②：f（n）=-2（n-10）2+128．
当n=10时，[f（n）]max=128．
故方案②共获利128+16=144（万元）．…（11分）
比较两种方案，获利都是144万元，但由于方案①只需6年，而方案②需10年，故选择方案①更合算．…（12分）
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