三角函数的诱导公式及应用
共6354题

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题型：简答题

简答题

已知△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c.•=m（m为正常数），∠BAC=θ，且a=2．

（Ⅰ）若bc有最大值4，求m的值及θ的取值范围；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数f（θ）=2cos2（θ+）+2sin2θ-的最大值及相应的θ的值．

正确答案

解：（Ⅰ）由余弦定理可得，b2+c2-2bccosθ=4，即b2+c2-2m=4，又bc≤（b2+c2）=m+2=4，∴m=2；

∴有bccosθ=2，cosθ=≥，∴θ∈（0，]；

（Ⅱ）∵f（θ）=1+cos（2θ+）+（1-cos2θ）-=-sin2θ-cos2θ+1

=-2sin（2θ+）+1．

由（Ⅰ）可知θ∈（0，]，

∴2θ+∈（，π]，sin（2θ+）∈[0，1]，

∴f（θ）max=1，此时θ=．

解析

解：（Ⅰ）由余弦定理可得，b2+c2-2bccosθ=4，即b2+c2-2m=4，又bc≤（b2+c2）=m+2=4，∴m=2；

∴有bccosθ=2，cosθ=≥，∴θ∈（0，]；

（Ⅱ）∵f（θ）=1+cos（2θ+）+（1-cos2θ）-=-sin2θ-cos2θ+1

=-2sin（2θ+）+1．

由（Ⅰ）可知θ∈（0，]，

∴2θ+∈（，π]，sin（2θ+）∈[0，1]，

∴f（θ）max=1，此时θ=．

题型：填空题

填空题

若0＜α＜π，则=______．

正确答案

-cosα

解析

解：∵0＜α＜π，

∴0＜＜，

∴cos＞0，

∴原式=

=-cosα．

故答案为：-cosα．

题型：单选题

单选题

函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）的最大值和最小正周期分别是（　　）

A2，π

B+1，π

C2，2π

D+1，2π

正确答案

解析

解：函数y=2cosx（sinx+cosx）=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1

=sin（2x+）+1，

故它的最大值为+1，最小正周期等于=π，．

故选：B．

题型：简答题

简答题

已知sin（π-α）=，α∈（0，）．

（1）求sin2α-cos2的值；

（2）求函数f（x）=cosαsin2x-cos2x的单调递增区间．

正确答案

解：∵sin（π-α）=，∴sinα=．

又∵α∈（0，），∴cosα=．

（1）sin2α-cos2

=2sinαcosα-

=2××-=．

（2）f（x）=×sin2x-cos2x

=sin（2x-）．

令2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z，

得kπ-≤x≤kπ+π，k∈Z．

∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+π]，k∈Z．

解析

解：∵sin（π-α）=，∴sinα=．

又∵α∈（0，），∴cosα=．

（1）sin2α-cos2

=2sinαcosα-

=2××-=．

（2）f（x）=×sin2x-cos2x

=sin（2x-）．

令2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z，

得kπ-≤x≤kπ+π，k∈Z．

∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+π]，k∈Z．

题型：简答题

简答题

已知α是第三象限角，且f（α）=

（1）化简f（α）；

（2）若cos（α-）=，求f（α）的值；

（3）若α=-，求f（α）的值．

正确答案

解：（1）∵α是第三象限角，∴f（α）===-cosα．

（2）∵cos（α-）=cos（+α）=-sinα=，∴sinα=-，∴f（α）=-cosα=-（-）=．

（3）若α=-，求f（α）=-cos（-）=-cos=．

解析

解：（1）∵α是第三象限角，∴f（α）===-cosα．

（2）∵cos（α-）=cos（+α）=-sinα=，∴sinα=-，∴f（α）=-cosα=-（-）=．

（3）若α=-，求f（α）=-cos（-）=-cos=．

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