三角函数的诱导公式及应用
共6354题

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题型：简答题

简答题

已知sin（4π+α）=sinβ，cos（6π+α）=cos（2π+β），且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值．

正确答案

解：由sin（4π+α）=sinβ，

cos（6π+α）=cos（2π+β），

可得，sinα=sinβ，，

两式平方相加得，

sin2α+3cos2α=2，

即有cos2，

由于0＜α＜π，0＜β＜π，

则cos，，cos，；

cos，，cosβ=-，．

则，或，．

解析

解：由sin（4π+α）=sinβ，

cos（6π+α）=cos（2π+β），

可得，sinα=sinβ，，

两式平方相加得，

sin2α+3cos2α=2，

即有cos2，

由于0＜α＜π，0＜β＜π，

则cos，，cos，；

cos，，cosβ=-，．

则，或，．

题型：填空题

填空题

化简=______．

正确答案

解析

解：=

=1．

故答案为：1．

题型：单选题

单选题

在非钝角△ABC中，C=，则cos2A+cos2B的最小值为（　　）

A1-

C1-

D1+

正确答案

解析

解：在非钝角△ABC中，C=，则cos2A+cos2B=cos2A+cos2（-A）=+

=1+=1+cos（2A+），

故cos2A+cos2B的最小值为1-=，

故选：B．

题型：填空题

填空题

求y=sin（-x）-cos2（+x）+2的值域．

正确答案

解析

解：y=sin（-x）-cos2（+x）+2=sin（-x）-sin2（-x）+2=-+，

故当sin（-x）=时，函数y取得最大值为，当sin（-x）=-1时，函数y取得最小值为0，

故函数的值域为[0，]．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=sinx-2sin2+1，f′（x）是f（x）的导函数．

（1）求f′（x）的最小正周期和最大值；

（2）函数F（x）=f（x）f′（x）-f2（x），当x∈[-，]时，|F（x）|≤m恒成立，求实数m的取值范围．

正确答案

解：（1）∵f（x）=sinx-2sin2+1=sinx+cosx，

∴f′（x）=cosx-sinx=2cos（x+），

则函数的最小正周期T=2π．最大值为2；

（2）函数F（x）=f（x）f′（x）-f2（x）

=（sinx+cosx）（cosx-sinx）-×（sinx+cosx）2

=3sinxcosx-sinxcosx+cos2x-sin2x-（3sin2x+cos2x+2sinxcosx）

=2sinxcosx+cos2x-（1+2sin2x+sin2x）

=sin2x+cos2x-3sin2x-（2-cos2x）

=sin2x+cos2x-3sin2x-2+cos2x

=2cos2x-2sin2x-2

=4cos（2x+）-2．

当x∈[-，]时，

2x+∈[-，]，

则cos（2x+）∈[-，1]，

4cos（2x+）∈[-2，4]，

4cos（2x+）-2∈[-2-2，4-2]，

则0≤|4cos（2x+）-2|≤2+2，

若|F（x）|≤m恒成立，

则m≥2+2，

即实数m的取值范围[2+2，+∞）．

解析

解：（1）∵f（x）=sinx-2sin2+1=sinx+cosx，

∴f′（x）=cosx-sinx=2cos（x+），

则函数的最小正周期T=2π．最大值为2；

（2）函数F（x）=f（x）f′（x）-f2（x）

=（sinx+cosx）（cosx-sinx）-×（sinx+cosx）2

=3sinxcosx-sinxcosx+cos2x-sin2x-（3sin2x+cos2x+2sinxcosx）

=2sinxcosx+cos2x-（1+2sin2x+sin2x）

=sin2x+cos2x-3sin2x-（2-cos2x）

=sin2x+cos2x-3sin2x-2+cos2x

=2cos2x-2sin2x-2

=4cos（2x+）-2．

当x∈[-，]时，

2x+∈[-，]，

则cos（2x+）∈[-，1]，

4cos（2x+）∈[-2，4]，

4cos（2x+）-2∈[-2-2，4-2]，

则0≤|4cos（2x+）-2|≤2+2，

若|F（x）|≤m恒成立，

则m≥2+2，

即实数m的取值范围[2+2，+∞）．

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