三角函数的诱导公式及应用
共6354题

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题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x+1（x∈R）．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）求函数f（x）在[-，]上的最小值，并写出f（x）取最小值时相应的x值．

正确答案

解：（Ⅰ）=sin2x+cos2x+1=+1，

由，可得x∈（k∈Z）．

∴函数的单调递增区间为（k∈Z）． …（7分）

（Ⅱ）∵x∈[-，]，

∴2x+∈[-，]…（9分），

∴，…（11分）

∴当，即时，函数f（x）取得最小值．…（13分）

解析

解：（Ⅰ）=sin2x+cos2x+1=+1，

由，可得x∈（k∈Z）．

∴函数的单调递增区间为（k∈Z）． …（7分）

（Ⅱ）∵x∈[-，]，

∴2x+∈[-，]…（9分），

∴，…（11分）

∴当，即时，函数f（x）取得最小值．…（13分）

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a（sinA-sinB）+bsinB=csinC上．

（1）求角C的值；

（2）若c=1，且△ABC为锐角三角形，求△ABC的面积的最大值．

正确答案

（1）解：∵a（sinA-sinB）+bsinB=csinC

∴由正弦定理得：a（a-b）+b2=c2

即a2+b2-c2=ab

由余弦定理得：cosC==，

∵角C为三角形的内角，

∴．

（2）∵S=absinC=，c=1

由（1）得，cosC==，

∴a2+b2-1=ab

由不等式的性质：a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时取等号，

∴ab≤1

∴S=absinC=≤．

所以△ABC的面积的最大值为．

解析

（1）解：∵a（sinA-sinB）+bsinB=csinC

∴由正弦定理得：a（a-b）+b2=c2

即a2+b2-c2=ab

由余弦定理得：cosC==，

∵角C为三角形的内角，

∴．

（2）∵S=absinC=，c=1

由（1）得，cosC==，

∴a2+b2-1=ab

由不等式的性质：a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时取等号，

∴ab≤1

∴S=absinC=≤．

所以△ABC的面积的最大值为．

题型：填空题

填空题

已知函数f（x）=，点O为坐标原点，点An（n，f（n））（n∈N*），向量=（0，1），θn是向量与的夹角，则++…+的值为______．

正确答案

解析

解：由题意可得90°-θn是直线OAn的倾斜角，

∴==tan（90°-θn）

===-，

∴++…+

=1-+-+…+-

=1-=，

故答案为：．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=cos（-x）cos（2π-x）-cos2x．

（1）求函数f（x）的单凋递增区间；

（2）若θ∈[0，]，f（+）=，求tan（θ+）的值．

正确答案

解：（1）函数f（x）=cos（-x）cos（2π-x）-cos2x=sinx•cosx-

=sin（2x-）-，

令2kπ-≤2x-≤2kπ+，求得kπ-≤x≤kπ+，

故函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z．

（2）∵θ∈[0，]，f（+）=sin（θ+-）=cosθ=，∴sinθ=，∴tanθ==，

∴tan（θ+）==．

解析

解：（1）函数f（x）=cos（-x）cos（2π-x）-cos2x=sinx•cosx-

=sin（2x-）-，

令2kπ-≤2x-≤2kπ+，求得kπ-≤x≤kπ+，

故函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z．

（2）∵θ∈[0，]，f（+）=sin（θ+-）=cosθ=，∴sinθ=，∴tanθ==，

∴tan（θ+）==．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx-（ω＞0）的最小正周期是π．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）的解析式及其在[0，]上的值域．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意，得

函数f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx-=sin2ωx-cos2ωx=2sin（2ωx-），函数f（x）ω＞0的最小正周期是π，

∴，

∴ω=1．

∴f（x）=2sin（2x-）．

由-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，

解得，k∈Z．

∴函数f（x）的单调递增区间：，k∈Z．

（II）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，

得到函数y=g（x）=2sin（2x+）+1．

∵x∈[0，]，

∴2x+∈[，]，

当2x+=时，即x=时，函数取得最大值：3．

当2x+=时，即x=时，函数取得最小值：1．

∴y=g（x）在[0，]上的值域为[1，3]．

解析

解：（Ⅰ）由题意，得

函数f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx-=sin2ωx-cos2ωx=2sin（2ωx-），函数f（x）ω＞0的最小正周期是π，

∴，

∴ω=1．

∴f（x）=2sin（2x-）．

由-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，

解得，k∈Z．

∴函数f（x）的单调递增区间：，k∈Z．

（II）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，

得到函数y=g（x）=2sin（2x+）+1．

∵x∈[0，]，

∴2x+∈[，]，

当2x+=时，即x=时，函数取得最大值：3．

当2x+=时，即x=时，函数取得最小值：1．

∴y=g（x）在[0，]上的值域为[1，3]．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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