三角函数的诱导公式及应用
共6354题

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题型：填空题

填空题

已知，，则=______．

正确答案

解析

解：∵

∴1+cosθ=，可得==|cos|

又∵sinθ=，1=

∴===||

∵，可得cos＞0且

∴=cos+（）=sin

由同角三角函数的关系，可得sin==

故答案为：

题型：简答题

简答题

已知函数y=cos2x+sinxcosx+1，x∈R．

（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）求该函数的单调递增区间．

正确答案

解：（1）y=cos2x+sinxcosx+1=+sin2x+1=sin（2x+）+，

∴当2x+=2kπ+时，即x=kπ+时，k∈Z，函数有最大值，

∴此时x的集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．

（2）当2kπ-≤2x+≤2kπ+，即kπ-≤x≤kπ+时，函数单调增，

∴函数的单调增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z．

解析

解：（1）y=cos2x+sinxcosx+1=+sin2x+1=sin（2x+）+，

∴当2x+=2kπ+时，即x=kπ+时，k∈Z，函数有最大值，

∴此时x的集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．

（2）当2kπ-≤2x+≤2kπ+，即kπ-≤x≤kπ+时，函数单调增，

∴函数的单调增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z．

题型：简答题

简答题

已=（2cosx+2sinx，1），=（cosx，-y），满足．

（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的最小正周期；

（2）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若对所有的x∈R恒成立，且a=2，求b+c的取值范围．

正确答案

解：（1）∵，=（2cosx+2sinx，1），=（cosx，-y），

∴（2cosx+2sinx）cosx-y=0

即f（x）=（2cosx+2sinx）cosx

=2cos2x+2sinxcosx

=1+cos2x+sin2x

=1+2sin（2x+）

T==π

∴f（x）的最小正周期为π．

（2）∵对所有的x∈R恒成立

∴1+2sin（2x+）≤1+2sin（A+）对所有的x∈R恒成立

即sin（2x+）≤sin（A+）对所有的x∈R恒成立，而A是三角形中的角

∴A=

∴cosA=cos=即b2+c2=4+bc即（b+c）2=4+3bc≤4+3

∴（b+c）2≤16即b+c≤4

而b+c＞a=2

∴2＜b+c≤4即b+c的取值范围为（2，4]

解析

解：（1）∵，=（2cosx+2sinx，1），=（cosx，-y），

∴（2cosx+2sinx）cosx-y=0

即f（x）=（2cosx+2sinx）cosx

=2cos2x+2sinxcosx

=1+cos2x+sin2x

=1+2sin（2x+）

T==π

∴f（x）的最小正周期为π．

（2）∵对所有的x∈R恒成立

∴1+2sin（2x+）≤1+2sin（A+）对所有的x∈R恒成立

即sin（2x+）≤sin（A+）对所有的x∈R恒成立，而A是三角形中的角

∴A=

∴cosA=cos=即b2+c2=4+bc即（b+c）2=4+3bc≤4+3

∴（b+c）2≤16即b+c≤4

而b+c＞a=2

∴2＜b+c≤4即b+c的取值范围为（2，4]

题型：填空题

填空题

设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为______．

正确答案

解析

解：设β=α+，

∴sinβ=，sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=2cos2β-1=，

∴sin（2α+）=sin（2α+-）=sin（2β-）=sin2βcos-cos2βsin=．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

已知函数．

（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；

（2）求函数f（x）在上的最值．

正确答案

解：（1）f（x）的最小周期T==π，

由题意得2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，

即kπ-≤x≤kπ+，k∈Z．

∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]（k∈Z）．

（2）∵x∈[-，]，

∴2x∈[-，]，2x+∈[-，]，

∴sin（2x+）∈[-，1]，

∴f（x）∈[-1，]，

∴f（x）max=，f（x）min=-1．

解析

解：（1）f（x）的最小周期T==π，

由题意得2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，

即kπ-≤x≤kπ+，k∈Z．

∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]（k∈Z）．

（2）∵x∈[-，]，

∴2x∈[-，]，2x+∈[-，]，

∴sin（2x+）∈[-，1]，

∴f（x）∈[-1，]，

∴f（x）max=，f（x）min=-1．

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已完结

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