三角函数的诱导公式及应用
共6354题

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题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+2cos2（x+）-，α为常数．

（Ⅰ）求函数f（x）的周期；

（Ⅱ）若0≤α≤π时，求使函数f（x）为偶函数的α值．

正确答案

解：（Ⅰ）f（x）=sin（2x+α）+[cos（2x+α）+1]-

=sin（2x+α）+cos（2x+α）

=2sin（2x+α+）

∴f（x）的周期T==π

（Ⅱ）要使函数f（x）为偶函数，

只需α+=kπ+，（k∈Z）

即α=kπ+，（k∈Z）

因为0≤α≤π，

所以α=．

解析

解：（Ⅰ）f（x）=sin（2x+α）+[cos（2x+α）+1]-

=sin（2x+α）+cos（2x+α）

=2sin（2x+α+）

∴f（x）的周期T==π

（Ⅱ）要使函数f（x）为偶函数，

只需α+=kπ+，（k∈Z）

即α=kπ+，（k∈Z）

因为0≤α≤π，

所以α=．

题型：简答题

简答题

设函数f（x）=cos2x+2sinxcosx（x∈R）的最大值为M，最小正周期为T．

（1）求M，T的值．

（2）20个互不相等的正数xi满足f（xi）=M，且xi＜10π（i=1，2，…，20），求x1+x2+…+x20的值．

正确答案

解：（1）f（x）=cos2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=2（cos2x+sin2x）=2sin（2x+），

∵-1≤sin（2x+）≤1

∴-2≤2sin（2x+）≤2，

即M=2，T==π．

（2）∵f（xi）=2sin（2xi+）=M=×2=，

∴sin（2xi+）=，

∴2xi+=+2kπ（k∈Z）或2xi+=+2kπ（k∈Z），

即xi=kπ+或kπ+，

∵xi＜10π，

∴当xi=kπ+时，k可取0，1，2，…9；当xi=kπ+时，k可取0，1，2，…9，

∴x1=，x2=π+，…xi=9π+，x11=，x12=π+，…x20=9π+，

∴x1+x2+…+x20

=（+π++…+9π+）+（+π++…+9π+）

=×10+×10+2（1+2+3+…+9）π

=×10+×10+2×•π=．

解析

解：（1）f（x）=cos2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=2（cos2x+sin2x）=2sin（2x+），

∵-1≤sin（2x+）≤1

∴-2≤2sin（2x+）≤2，

即M=2，T==π．

（2）∵f（xi）=2sin（2xi+）=M=×2=，

∴sin（2xi+）=，

∴2xi+=+2kπ（k∈Z）或2xi+=+2kπ（k∈Z），

即xi=kπ+或kπ+，

∵xi＜10π，

∴当xi=kπ+时，k可取0，1，2，…9；当xi=kπ+时，k可取0，1，2，…9，

∴x1=，x2=π+，…xi=9π+，x11=，x12=π+，…x20=9π+，

∴x1+x2+…+x20

=（+π++…+9π+）+（+π++…+9π+）

=×10+×10+2（1+2+3+…+9）π

=×10+×10+2×•π=．

题型：填空题

填空题

函数y=-sin2x-3cosx的最小值是______．

正确答案

解析

解：y=-sin2x-3cosx=-1+cos2x-3cosx=cos2x-3cosx+，

∵-≤cosx≤1，令t=cosx，则-1≤t≤1，

f（t）=t2-3t+，对称轴为t=，

函数在[-1，1]上单调减，

∴f（t）min=f（1）=-．

故答案为：-．

题型：简答题

简答题

（2015秋•东城区期末）已知函数．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和在[0，π]上的单调递减区间；

（Ⅱ）若α为第四象限角，且，求的值．

正确答案

解：（Ⅰ）由已知

=．

∴最小正周期；

由，

得．

故函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间；

（Ⅱ）∵α为第四象限角，且，∴．

∴==．

解析

解：（Ⅰ）由已知

=．

∴最小正周期；

由，

得．

故函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间；

（Ⅱ）∵α为第四象限角，且，∴．

∴==．

题型：简答题

简答题

设x∈R，向量，，函数．

（Ⅰ）在区间（0，π）内，求f（x）的单调递减区间；

（Ⅱ）若f（θ）=1，其中，求．

正确答案

解：（Ⅰ）由条件可得函数=+2sin2x-1=+1-cos2x-1

=2（-）=2sin（2x-），

令 2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈z，解得 kπ+≤x≤kπ+，k∈z．

再由x∈（0，π），可得 f（x）的单调递减区间（，），k∈z．

（Ⅱ）∵f（θ）=1，其中，

∴2sin（2θ-）=1，sin（2θ-）=，

故2θ-=，θ=．

∴=cos（）=cos=0．

解析

解：（Ⅰ）由条件可得函数=+2sin2x-1=+1-cos2x-1

=2（-）=2sin（2x-），

令 2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈z，解得 kπ+≤x≤kπ+，k∈z．

再由x∈（0，π），可得 f（x）的单调递减区间（，），k∈z．

（Ⅱ）∵f（θ）=1，其中，

∴2sin（2θ-）=1，sin（2θ-）=，

故2θ-=，θ=．

∴=cos（）=cos=0．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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