三角函数的诱导公式及应用
共6354题

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题型：简答题

简答题

已知函数

（1）求f（x）的最小正周期和单调区间；

（2）若，求f（x）的取值范围．

正确答案

解：（1）

=sin2x+sinxcosx-（sin2x-cos2x）

=sinxcosx+cos2x

=sin2x+（cos2x+1）

=．

函数的极限为：，

最小正周期T=π，

由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z得kπ≤x≤kπ+，k∈Z，

∴的单调递增区间为[kπ，kπ+]，k∈Z．

同理可得的单调递减区间为

（2）∴，∴，

∴

∴．

解析

解：（1）

=sin2x+sinxcosx-（sin2x-cos2x）

=sinxcosx+cos2x

=sin2x+（cos2x+1）

=．

函数的极限为：，

最小正周期T=π，

由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z得kπ≤x≤kπ+，k∈Z，

∴的单调递增区间为[kπ，kπ+]，k∈Z．

同理可得的单调递减区间为

（2）∴，∴，

∴

∴．

题型：简答题

简答题

已知f（x）=2cosx-2sin（-x）

（1）把f（x）化成Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的形式；

（2）用“五点法”作出f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图．

正确答案

解：（1）f（x）=2cosx-2sin（-x）=2cosx-cosx+sinx=cosx+sinx=2sin（x+）．

（2）：列表：

函数函数 y=2sin（x+）的在区间[，]上的图象如下图所示：

解析

解：（1）f（x）=2cosx-2sin（-x）=2cosx-cosx+sinx=cosx+sinx=2sin（x+）．

（2）：列表：

函数函数 y=2sin（x+）的在区间[，]上的图象如下图所示：

题型：填空题

填空题

化简：=______．

正确答案

-1

解析

解：原式==-1．

故答案为-1．

题型：填空题

填空题

化简=______．

正确答案

-cosα

解析

解：

=-cosα．

故答案为：-cosα．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=2sinx（cosx-sinx）+，x∈R．

（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；

（2）求函数f（x）在区间[-，]上的最小值和最大值；

（3）若x∈（-π，]，求使f（x）≥的x取值范围．

正确答案

解：f（x）=2sinx（cosx-sinx）+=sin2x-（1-cos2x）+=sin2x+cos2x+-1=sin（2x+）+-1，

（1）函数f（x）的最小正周期为=π．

令2kπ-≤2x+≤2kπ+（k∈Z）得，

kπ-≤x≤kπ+（k∈Z）．

所以函数f（x）的单调增区间是[kπ-，kπ+]（k∈Z）．

（2）因为x∈（-π，]，

所以-≤2x+≤．

所以-≤sin（2x+≤1．

所以-2≤f（x）≤2．

所以函数f（x）在区间[-，]上的最小值是-2，最大值是21．

（3）因为x∈（-π，]，所以-＜2x+≤．

由f（x）≥得，sin（2x+）+-1≥，

所以sin（2x+≥．

所以-＜2x+≤-或≤2x+≤．

所以-π＜x≤或0≤x≤．

当x∈（-π，]时，使f（x）的x取值范围是（-π，-]∪[0，]．

解析

解：f（x）=2sinx（cosx-sinx）+=sin2x-（1-cos2x）+=sin2x+cos2x+-1=sin（2x+）+-1，

（1）函数f（x）的最小正周期为=π．

令2kπ-≤2x+≤2kπ+（k∈Z）得，

kπ-≤x≤kπ+（k∈Z）．

所以函数f（x）的单调增区间是[kπ-，kπ+]（k∈Z）．

（2）因为x∈（-π，]，

所以-≤2x+≤．

所以-≤sin（2x+≤1．

所以-2≤f（x）≤2．

所以函数f（x）在区间[-，]上的最小值是-2，最大值是21．

（3）因为x∈（-π，]，所以-＜2x+≤．

由f（x）≥得，sin（2x+）+-1≥，

所以sin（2x+≥．

所以-＜2x+≤-或≤2x+≤．

所以-π＜x≤或0≤x≤．

当x∈（-π，]时，使f（x）的x取值范围是（-π，-]∪[0，]．

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已完结

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