三角函数的诱导公式及应用
共6354题

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题型：填空题

填空题

已知a∈（0，π），且sina+cosa=，则cos2a的值为______．

正确答案

解析

解：把sina+cosa=，两边平方得：1+2sinαcosα=，

即1+sin2α=，解得sin2α=-，

又sina+cosa=sin（α+）=，解得：sin（α+）=＜，

得到：0＜α+＜（舍去）或＜α+＜π，

解得：＜α＜，所以2α∈（，），

则cos2α=-=-．

故答案为：-

题型：单选题

单选题

等于（　　）

C.1

D-1

正确答案

解析

解：=•=tan30°=，

故选：B．

题型：简答题

简答题

设

（Ⅰ）求f（x）的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）若锐角α满足，求的值．

正确答案

解：（Ⅰ）∵f（x）=6-sin2x-6sin2x

=3-sin2x+3cos2x

=-2（sin2x-cos2x）+3，

=3-2sin（2x-），

∴f（x）的最大值为2+3，最小正周期T==π．

（Ⅱ）由f（α）=3-2，得3-2sin（2α-）=3-2，

∴sin（2α-）=1，

∵0＜α＜，

∴-＜2α-＜，

∴2α-=，解得α=，

∴tan=tan=1．

解析

解：（Ⅰ）∵f（x）=6-sin2x-6sin2x

=3-sin2x+3cos2x

=-2（sin2x-cos2x）+3，

=3-2sin（2x-），

∴f（x）的最大值为2+3，最小正周期T==π．

（Ⅱ）由f（α）=3-2，得3-2sin（2α-）=3-2，

∴sin（2α-）=1，

∵0＜α＜，

∴-＜2α-＜，

∴2α-=，解得α=，

∴tan=tan=1．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=cos2ωx-sin2ωx（ω＞0）的最小正周期为6，过两点A（t，f（t）），B（t+1，f（t+1））的直线的斜率记为g（t）．

（Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）写出函数g（t）的解析式，求g（t）在[-，]上的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）因为函数y=cos2ωx-sin2ωx=cos2ωx，最小正周期为6，

所以=6，所以ω=；

（Ⅱ）g（t）=f（t+1）-f（t）=cos（t+）-cost=-sin（t+）

∵t∈[-，]，∴t+∈[-，]，

∴sin（t+）∈[-，1]，

∴-sin（t+）∈[-1，]

∴g（t）在[-，]上的取值范围为[-1，]．

解析

解：（Ⅰ）因为函数y=cos2ωx-sin2ωx=cos2ωx，最小正周期为6，

所以=6，所以ω=；

（Ⅱ）g（t）=f（t+1）-f（t）=cos（t+）-cost=-sin（t+）

∵t∈[-，]，∴t+∈[-，]，

∴sin（t+）∈[-，1]，

∴-sin（t+）∈[-1，]

∴g（t）在[-，]上的取值范围为[-1，]．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=sin（π-x）sin（-x）+cos2x．

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）求函数f（x）的单调区间．

正确答案

解：（1）函数f（x）=sin（π-x）sin（-x）+cos2x=sinxcosx+=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，

故函数的周期为=π．

（2）令2kπ-≤2x+≤2kπ+，求得 kπ-≤x≤kπ+，故函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．

令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得 kπ+≤x≤kπ+，故函数的增区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．

解析

解：（1）函数f（x）=sin（π-x）sin（-x）+cos2x=sinxcosx+=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，

故函数的周期为=π．

（2）令2kπ-≤2x+≤2kπ+，求得 kπ-≤x≤kπ+，故函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．

令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得 kπ+≤x≤kπ+，故函数的增区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．

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