三角函数的诱导公式及应用
共6354题

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题型：填空题

填空题

已知：sin230°+sin290°+sin2150°=；sin25°+sin265°+sin2125°=通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题______．

正确答案

sin2（α-60°）+sin2α+sin2（α+60°）=

解析

解：由已知中sin230°+sin290°+sin2150°=，

sin25°+sin265°+sin2125°=．

归纳推理的一般性的命题为：

sin2（α-60°）+sin2α+sin2（α+60°）=．

证明如下：

左边=++

=-[cos（2α-120°）+cos2α+cos（2α+120°）]

==右边．

∴结论正确．

故答案为：sin2（α-60°）+sin2α+sin2（α+60°）=．

题型：填空题

填空题

在△ABC中，已知a5+b5=c5，则下列结论中：

①sinA+sinB＜2sin；

②cosB+cosC＜2cos；

③tanA+tanC＞2tan；

其中恒成立的有______．

正确答案

0个

解析

解：在△ABC中，∵a5+b5=c5，

∴（a2+b2）5-（c2）5=（a2+b2）5-（c5）2

=（a2+b2）5-（a5+b5）2＞0，

∴a2+b2＞c2，

∴∠C为锐角，又∠A＜∠C，∠B＜∠C，

∴△ABC为锐角三角形．

则sinA+sinB=≤2sin，故①错误；

cosB+cosC=，当A=B=C时，cosB+cosC=2cos，故②错误；

当A=B=C时，tanA+tanC=，2tan=，故③错．

∴恒成立的有0个．

故答案为：0个．

题型：单选题

单选题

将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移个长度单位后，所得到的图象关于（　　）对称．

Ay轴

B原点（0，0）

C直线x=

D点（，0）

正确答案

解析

解：y=cosx+sinx=2sin（x+），

∴函数的图象向左平移个长度单位后得f（x）=2sin（x++）=2cosx，

∴函数的图象关于y轴对称，

故选：A．

题型：简答题

简答题

已知f（x）=2cos（sin+cos）-1，x∈R．

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）设α、β∈（0，），f（α）=2，f（β）=，求f（α+β）的值．

正确答案

解：（1）f（x）=2cos（sin+cos）-1

=（2sincos）+（2cos2-1）

=sinx+cosx=2sin（x）

则f（x）的最小正周期T=2π；

（2）因为2sin（）=2，即sin（）=1，

由于α∈（0，），则＜＜，

所以=，即，

又2sin（）=，即sin（）=，

由于β∈（0，），则＜＜，

因为＜，所以则＜＜，

则cos（）=，

所以f（α+β）=2sin（）=2sin（），

=2cosβ=2cos[（）-]=2cos（）cos+2sin（）sin

=2××+2××=

解析

解：（1）f（x）=2cos（sin+cos）-1

=（2sincos）+（2cos2-1）

=sinx+cosx=2sin（x）

则f（x）的最小正周期T=2π；

（2）因为2sin（）=2，即sin（）=1，

由于α∈（0，），则＜＜，

所以=，即，

又2sin（）=，即sin（）=，

由于β∈（0，），则＜＜，

因为＜，所以则＜＜，

则cos（）=，

所以f（α+β）=2sin（）=2sin（），

=2cosβ=2cos[（）-]=2cos（）cos+2sin（）sin

=2××+2××=

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=sinωx+cosωx+c（ω＞0，x∈R，c是实数常数）的图象上的一个最高点（，1），与该最高点最近的一个最低点是（，-3）．

（1）求函数f（x）的解析式及其单调增区间；

（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且•=-ac，角A的取值范围是区间M，当x∈M时，试求函数f（x）的取值范围．

正确答案

解：（1）∵f（x）=sinωx+cosωx+c

=2（sinωx+cosωx）+c

=2sin（ωx+）+c，

∴f（x）max=2+c=1，f（x）min=-2+c=-3，

∴c=-1；

又=-=，

∴T==π，

∴ω=2，

∴f（x）=2sin（2x+）-1．

由2kπ-≤2x+≤2kπ+（k∈Z），得：kπ-≤x≤kπ+（k∈Z），

∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-，kπ+]（k∈Z）；

（2）依题意，•=||•||cos＜，＞=ca•cos（π-B）=-ac，

∴cosB=，又0＜B＜π，

∴B=．

∴A∈（0，），即M=（0，）；

∴当x∈（0，）时，2x+∈（，），

∴sin（2x+）∈（-1，1]，

∴f（x）=2sin（2x+）-1∈（-3，1]．

即函数f（x）的取值范围为（-3，1]．

解析

解：（1）∵f（x）=sinωx+cosωx+c

=2（sinωx+cosωx）+c

=2sin（ωx+）+c，

∴f（x）max=2+c=1，f（x）min=-2+c=-3，

∴c=-1；

又=-=，

∴T==π，

∴ω=2，

∴f（x）=2sin（2x+）-1．

由2kπ-≤2x+≤2kπ+（k∈Z），得：kπ-≤x≤kπ+（k∈Z），

∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-，kπ+]（k∈Z）；

（2）依题意，•=||•||cos＜，＞=ca•cos（π-B）=-ac，

∴cosB=，又0＜B＜π，

∴B=．

∴A∈（0，），即M=（0，）；

∴当x∈（0，）时，2x+∈（，），

∴sin（2x+）∈（-1，1]，

∴f（x）=2sin（2x+）-1∈（-3，1]．

即函数f（x）的取值范围为（-3，1]．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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