三角函数的诱导公式及应用
共6354题

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题型：简答题

简答题

已知向量（ω＞0），函数f（x）=•，且最小正周期为4π．

（1）求ω的值；

（2）设，，求sin（α+β）的值．

正确答案

解：（1）向量（ω＞0），

函数f（x）=•=sinωx+cosωx=2sin（ωx+），

∴函数的周期为T==4π，

∴ω=．

（2）由（1），可知，f（x）=2sin（），

则．

∴，

又，

∴，

又，

∴=

∴，

又，∴，

∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=．

解析

解：（1）向量（ω＞0），

函数f（x）=•=sinωx+cosωx=2sin（ωx+），

∴函数的周期为T==4π，

∴ω=．

（2）由（1），可知，f（x）=2sin（），

则．

∴，

又，

∴，

又，

∴=

∴，

又，∴，

∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=．

题型：填空题

填空题

已知sinα+cosα=-，则sin（π+α）+cos（π-α）=______．

正确答案

解析

解：sinα+cosα=-，

则sin（π+α）+cos（π-α）=-sinα-cosα

=-（sinα+cosα）=

故答案为：

题型：简答题

简答题

向量，k＞0．函数．

（Ⅰ）若k=12，求函数f（x）的单调减区间；

（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x），如果函数g（x）在x∈（0，2014]上至少存在2014个最值点，求k的最小值．

正确答案

解：（Ⅰ）∵，

∴

==，

∴，k=12时，

由，k∈Z，

可得，k∈Z，

∴，k∈Z

∴函数f（x）的减区间为．k∈Z．

（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到函数=，

即，

∴g（x）的周期为，每一个周期有两个最值点，

∴x∈（0，2014]上至少有1007个周期，

2014，k≥6，

∴k的最小值为6．

解析

解：（Ⅰ）∵，

∴

==，

∴，k=12时，

由，k∈Z，

可得，k∈Z，

∴，k∈Z

∴函数f（x）的减区间为．k∈Z．

（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到函数=，

即，

∴g（x）的周期为，每一个周期有两个最值点，

∴x∈（0，2014]上至少有1007个周期，

2014，k≥6，

∴k的最小值为6．

题型：简答题

简答题

已知向量=（cos2x，sin2x），=（，1），函数f（x）=•+m．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）当x∈[0，]时，f（x）的最小值为5，求m的值．

正确答案

（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意知：f（x）=•+m=…（2分）

=2．…（4分）

所以f（x）的最小正周期为T=π…（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=2，

当当x∈[0，]时，，…（8分）

所以当时，f（x）的最小值为…（10分）

又∵f（x）的最小值为5，

∴．

∴m=5…（12分）

解析

（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意知：f（x）=•+m=…（2分）

=2．…（4分）

所以f（x）的最小正周期为T=π…（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=2，

当当x∈[0，]时，，…（8分）

所以当时，f（x）的最小值为…（10分）

又∵f（x）的最小值为5，

∴．

∴m=5…（12分）

题型：填空题

填空题

若函数f（x）=2cos2x+asinx-1在区间（，）是减函数，则a的取值范围是______．

正确答案

（-∞，2]

解析

解：∵函数f（x）=2cos2x+asinx-1，

∴f′（x）=2sin2x+acosx

∴f′（x）=-2sin2x+acosx≤0在区间（，）上恒成立，

∴a≤=4sinx，

∵x∈（，）

∴sinx∈（，1），

∴4sinx∈（2，4），

∴a≤2，

故答案为：（-∞，2]．

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