三角函数的诱导公式及应用
共6354题

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题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=2sinωxcosωx=2sin2ωx-（ω＞0）的最小正周期为π．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；

（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移a（a＞0）个单位，得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）在区间[0，]上的最大值与最小值的和为5，求a的值．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意得f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx-=sin2ωx-cos2ωx=2sin（2ωx-）

由周期为π，得ω==1．

得F（X）=2sin（2x-），

由2kπ-≤2x-≤2kπ+，得kπ≤x≤kπ+，k∈Z

所以函数f（x）的单调增区间是[kπ，kπ+]，k∈Z．

（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移a个单位，

得到，

因为，，，

所以g（x）∈[1+a，2+a]，

令1+a+2+a=5

得a=1

解析

解：（Ⅰ）由题意得f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx-=sin2ωx-cos2ωx=2sin（2ωx-）

由周期为π，得ω==1．

得F（X）=2sin（2x-），

由2kπ-≤2x-≤2kπ+，得kπ≤x≤kπ+，k∈Z

所以函数f（x）的单调增区间是[kπ，kπ+]，k∈Z．

（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移a个单位，

得到，

因为，，，

所以g（x）∈[1+a，2+a]，

令1+a+2+a=5

得a=1

题型：简答题

简答题

已知函数f （x）=2cos2x-2sinxcosx+1．

（1）设方程f （x）-1=0在（0，z）内的两个零点x1，x2，求x1+x2的值．

（2）把函数y=f （x）的图象向左平移m （m＞0）个单位使所得函数的图象关于点（0，2）对称，求m的最小值．

正确答案

解：（1）由题设得f（x）=-sin2x+1+cos2x+1=cos（2x+）+2

∵f（x）-1=0，∴cos（2x+）+2=1

∴cos（2x+）=-，

由2x+=2kπ+或2kπ+π，k∈Z．得x=kπ+或kπ+

∵x∈（0，π）

∴x1=，x2=

∴x1+x2=

（2）设y=f（x）的图象向左平移m个单位，得到函数g（x）的图象，

则g（x）=cos（2x++2m）+2

∵y=g（x）的图象关于点（0，2）对称，∴2m+=kπ+，k∈Z

∴2m=kπ+，m=+，k∈Z

∵m＞0，∴当k=0时，m取得最小值．

解析

解：（1）由题设得f（x）=-sin2x+1+cos2x+1=cos（2x+）+2

∵f（x）-1=0，∴cos（2x+）+2=1

∴cos（2x+）=-，

由2x+=2kπ+或2kπ+π，k∈Z．得x=kπ+或kπ+

∵x∈（0，π）

∴x1=，x2=

∴x1+x2=

（2）设y=f（x）的图象向左平移m个单位，得到函数g（x）的图象，

则g（x）=cos（2x++2m）+2

∵y=g（x）的图象关于点（0，2）对称，∴2m+=kπ+，k∈Z

∴2m=kπ+，m=+，k∈Z

∵m＞0，∴当k=0时，m取得最小值．

题型：简答题

简答题

求[2sin50°+sin10°（1+tan10°）]•sin80°的值．

正确答案

解：[2sin50°+sin10°（1+tan10°）]•sin80°

=[2sin50°+sin10°（1+）]•sin80°

=（2sin50°+sin10°）•sin80°

=（2sin50°+sin10°）•cos10°

=2sin50°•cos10°+2sin10°sin40°

=2（sin50°cos10°+cos50°sin10°）

=2sin60°

=2×

=，

∴所求式子的值为．

解析

解：[2sin50°+sin10°（1+tan10°）]•sin80°

=[2sin50°+sin10°（1+）]•sin80°

=（2sin50°+sin10°）•sin80°

=（2sin50°+sin10°）•cos10°

=2sin50°•cos10°+2sin10°sin40°

=2（sin50°cos10°+cos50°sin10°）

=2sin60°

=2×

=，

∴所求式子的值为．

题型：填空题

填空题

设函数f（x）=1+sin2x，g（x）=2cos2x+m，若存在x0∈[0，]，f（x0）≥g（x0），则实数m的取值范围是______．

正确答案

m≤

解析

解：由题意可得存在x0∈[0，]，使1+sin2x0-2cos2x0-m≥0即可满足题意，

故只需存在x0∈[0，]，m≤1+sin2x0-2cos2x0，

故只需m≤（1+sin2x-2cos2x）max，x∈[0，]，

化简可得y=1+sin2x-2cos2x=sin2x-cos2x=sin（2x-），

∵x∈[0，]，∴2x-∈[，]，

∴sin（2x-）∈[，1]，

∴sin（2x-）∈[-1，]，

即y=1+sin2x-2cos2x的最大值为，

∴m≤

故答案为：m≤

题型：简答题

简答题

已知函数．

（1）求函数f（x）的最小正周期，最大值及取最大值时相应的x值；

（2）如果，求f（x）的取值范围．

正确答案

解：（1）f（x）=2sinx（cosx-sinx）+sinxcosx+cos2x

=2sinxcosx+cos2x-sin2x

=sin2x+cos2x

=2sin（2x+）…（6分）

∴f（x）的最小正周期T==π．

当2x+=2kπ+，x=kπ+（k∈z）时，f（x）取得最大值2．…（10分）

（2）由0≤x≤，得≤2x+≤，

-≤sin（2x+）≤1，

∴f（x）的值域为[-1，2]…（14分）

解析

解：（1）f（x）=2sinx（cosx-sinx）+sinxcosx+cos2x

=2sinxcosx+cos2x-sin2x

=sin2x+cos2x

=2sin（2x+）…（6分）

∴f（x）的最小正周期T==π．

当2x+=2kπ+，x=kπ+（k∈z）时，f（x）取得最大值2．…（10分）

（2）由0≤x≤，得≤2x+≤，

-≤sin（2x+）≤1，

∴f（x）的值域为[-1，2]…（14分）

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