- 参数方程
- 共2145题
已知直线l：
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）判断l与C的位置关系．
正确答案
解析
解：（Ⅰ）∵曲线C：ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+3=0，
∴x2+y2-2x-4y+3=0，
∴圆C的直角坐标方程为（x-1）2+（y-2）2=2．
（Ⅱ）∵直线l：
∴
∴圆心C（1，2）到直线l的距离为：
∵
∴d＞r．
∴直线l与圆C的位置关系是相离．
已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
正确答案
ρ=4cosθ
解析
解：（1）曲线C的参数方程为
∴曲线C在极坐标系中的方程为ρ2-4ρcosθ=0，
由于ρ=4cosθ包含ρ=0的情况，
∴曲线C在极坐标系中的方程为ρ=4cosθ．
（2）∵直线l的方程为
∴圆C的圆心C（2，0）到直线l的距离为
又∵圆C的半径为r=2，
∴直线l被曲线C截得的弦长
己知圆C1的参数方程为
（Ⅰ）将圆C1的参数方程他为普通方程，将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）圆C1，C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．
正确答案
解：（I）由圆C1的参数方程
消去参数φ可得：x2+y2=1．
由圆C2的极坐标方程ρ=2
∴x2+y2=2x+2y．即（x-1）2+（y-1）2=2．
（II）由x2+y2=1，x2+y2=2x+2y．可得两圆的相交弦所在的直线方程为2x+2y=1．
圆心（0，0）到此直线的距离d=
∴弦长|AB|=2
解析
解：（I）由圆C1的参数方程
消去参数φ可得：x2+y2=1．
由圆C2的极坐标方程ρ=2
∴x2+y2=2x+2y．即（x-1）2+（y-1）2=2．
（II）由x2+y2=1，x2+y2=2x+2y．可得两圆的相交弦所在的直线方程为2x+2y=1．
圆心（0，0）到此直线的距离d=
∴弦长|AB|=2
平面直角坐标系中，点集
A
B
C
D与α，β有关
正确答案
解析
解：∵
两式平方相加得：
x2+y2=1+1+2sinαcosβ-2cosαsinβ
即：x2+y2=2+2sin（α-β）．
由于-1≤sin（α-β）≤1，
∴0≤2+2sin（α-β）≤4，
∴随着α-β 的变化，方程x2+y2=2+2sin（α-β）圆心在（0，0），半径最大为2的圆，
点集M所覆盖的平面图形的面积为：2×2×π=4π．
故选A．
将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．
（Ⅰ）写出C的参数方程；
（Ⅱ）设直线l：2x+y-2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
正确答案
解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，
∴x2+
（Ⅱ）由
则线段P1P2的中点坐标为（
再根据与l垂直的直线的斜率为
再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα-2ρsinα+
即 ρ=
解析
解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，
∴x2+
（Ⅱ）由
则线段P1P2的中点坐标为（
再根据与l垂直的直线的斜率为
再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα-2ρsinα+
即 ρ=
直线x-
正确答案
解析
解：曲线
是圆，圆心是（0，0），半径是2，
∴圆心到直线x-
d=
所以直线与圆相切，有一个交点．
故选B．
在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程
（I） 求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C与直线l交于A、B两点，若
正确答案
解：（Ⅰ）∵曲线C的方程为ρ=2
化为直角坐标方程为x2+y2=2
即
（Ⅱ）把直线l的方程
化简得
由根与系数的关系知，
由参数的几何意义得
.
解析
解：（Ⅰ）∵曲线C的方程为ρ=2
化为直角坐标方程为x2+y2=2
即
（Ⅱ）把直线l的方程
化简得
由根与系数的关系知，
由参数的几何意义得
.
已知圆C的参数方程为
正确答案
（x-1）2+y2=4
解析
解：由
∴圆C的直角坐标方程为（x-1）2+y2=4．
圆心坐标为C（1，0），圆心C到直线l：x+y+1=0的距离为
故答案为：（x-1）2+y2=4；
参数方程
正确答案
解析
解：利用同角三角函数的基本关系，消去参数θ，
参数方程 
故选B．
已知直线l的参数方程是
（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化写为直角坐标系方程；
（Ⅱ）若圆C上有且仅有三个点到直线l距离为
正确答案
解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为ρ=4
化为直角坐标系方程x2+y2=4x-4y，
∴圆C的直角坐标系方程为x2+y2=4x-4y；
（Ⅱ）直线l的参数方程是
消去参数化为y=2x+a．
由（1）可知：圆C的方程为（x-2）2+（y+2）2=8，
∴圆心C（2，-2），半径r=
如图所示：
∵圆C上有且仅有三个点到直线l距离为
∴当圆心C到直线l的距离为
∴
∴实数a的值为
解析
解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为ρ=4
化为直角坐标系方程x2+y2=4x-4y，
∴圆C的直角坐标系方程为x2+y2=4x-4y；
（Ⅱ）直线l的参数方程是
消去参数化为y=2x+a．
由（1）可知：圆C的方程为（x-2）2+（y+2）2=8，
∴圆心C（2，-2），半径r=
如图所示：
∵圆C上有且仅有三个点到直线l距离为
∴当圆心C到直线l的距离为
∴
∴实数a的值为
能化为普通方程x2+y-1=0的参数方程是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：A．普通方程x2+y-1=0中的y可以小于0，而
B.
C.
D．普通方程x2+y-1=0中的y可以小于0，而
故选：B．
以坐标原点为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系．在此极坐标系下，曲线C1的极坐标方程为：ρ=2cosθ，在直角坐标系里，直线C2的参数方程为：
正确答案
解：∵ρ=2cosθ，
∴ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x
圆心为（1，0），半径为1的圆
直线方程为2x-y-2a=0
根据直线C2与曲线C1有两个不同交点A，B．
∴d＜r即
解得：
解析
解：∵ρ=2cosθ，
∴ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x
圆心为（1，0），半径为1的圆
直线方程为2x-y-2a=0
根据直线C2与曲线C1有两个不同交点A，B．
∴d＜r即
解得：
已知ρ=2α•cos（θ+
（1）当α=
（2）直线l的参数方程是
正确答案
解：（1）a=
所以圆C的直角坐标方程为（x-1）2+（y+1）2=2 ①
所以圆心C（1，-1）．
又点O的直角坐标为（0，0），
所以直线OA的直线方程为y=-x②
联立①②解得点A的直角坐标为（2，-2），极坐标为（2
（2）由ρ=2α•cos（θ+
圆C的直角坐标方程为
由
所以圆心C（
所以d=2
所以
解析
解：（1）a=
所以圆C的直角坐标方程为（x-1）2+（y+1）2=2 ①
所以圆心C（1，-1）．
又点O的直角坐标为（0，0），
所以直线OA的直线方程为y=-x②
联立①②解得点A的直角坐标为（2，-2），极坐标为（2
（2）由ρ=2α•cos（θ+
圆C的直角坐标方程为
由
所以圆心C（
所以d=2
所以
在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的参数方程为
正确答案
解：把直线l的参数方程
曲线C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程，得（x-1）2+y2=1；
∴线段AB的垂直平分线是过圆心C（1，0）且与直线x+2y-2=0垂直的直线，
其方程为2x-y-2=0；
化为极坐标方程是2ρcosθ-ρsinθ-2=0．
解析
解：把直线l的参数方程
曲线C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程，得（x-1）2+y2=1；
∴线段AB的垂直平分线是过圆心C（1，0）且与直线x+2y-2=0垂直的直线，
其方程为2x-y-2=0；
化为极坐标方程是2ρcosθ-ρsinθ-2=0．
已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为
（1）写出曲线C的直角坐标方程
（2）若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，设P（4，2），求|PM|+|PN|的取值范围．
正确答案
解：（1）由曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，化为ρ2=4ρcosθ，
∴x2+y2=4x即为直角坐标方程．
（2）把直线l的参数方程
由△=16（sinα+cosα）2-16＞0，sinαcosα＞0，又α∈[0，π），∴
∴t1+t2=-4（sinα+cosα），t1t2=4．
∴t1＜0，t2＜0．
∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4（sinα+cosα）=4
由
∴|PM|+|PN|的取值范围是
解析
解：（1）由曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，化为ρ2=4ρcosθ，
∴x2+y2=4x即为直角坐标方程．
（2）把直线l的参数方程
由△=16（sinα+cosα）2-16＞0，sinαcosα＞0，又α∈[0，π），∴
∴t1+t2=-4（sinα+cosα），t1t2=4．
∴t1＜0，t2＜0．
∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4（sinα+cosα）=4
由
∴|PM|+|PN|的取值范围是
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