参数方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知y=-x+，求参数方程．

正确答案

解：由直线y=-x+的斜率k=-，过点．

可得直线的参数方程为．

解析

解：由直线y=-x+的斜率k=-，过点．

可得直线的参数方程为．

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题型：填空题

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填空题

直线l：（t为参数）被曲线C：（θ为参数）所截得的弦长为______．

正确答案

2

解析

解：直线l：（t为参数）即3x-4y-8=0，

曲线C：（θ为参数）即（x-5）2+（y-3）2=4，表示以C（5，3）为圆心、半径为2的圆．

圆心到直线3x-4y-8=0的距离为d==1，故弦长为2=2，

故答案为：2．

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题型：填空题

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填空题

设直线l的参数方程为（t为参数），圆O的参数方程为（θ为参数），则直线l被圆O所截得的弦长为______．

正确答案

解析

解：直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为x+2y-3=0；

圆O的参数方程为（θ为参数），普通方程为x2+y2=9，

∴圆心O到l的距离为，

∴直线l被圆O所截得的弦长为2=．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的极坐标方程为ρ（3cosθ+4sinθ）=4，直线l1与l2垂直．

（1）求实数m的值；

（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），曲线C与直线l1交于A，B两点，求点M（2，1）到A，B两点的距离之积．

正确答案

解：（1）直线l1的参数方程为（t为参数），

化为普通方程是mx-3y+3-2m=0；

直线l2的极坐标方程为ρ（3cosθ+4sinθ）=4，

化为普通方程是3x+4y=4；

又∵直线l1⊥l2，

∴3m-3×4=0，

∴m=4；

（2）∵m=4，

∴l1的参数方程可化为（t为参数）；

又∵C的参数方程（θ为参数）化为普通方程是，

+=1；

把l1的参数方程代入得4（2+t）2+9=36；

即36t2+120t-55=0，

∴t1•t2=-，

∴|t1|•|t2|=|t1t2|=；

即点M（2，1）到A，B两点的距离之积为．

解析

解：（1）直线l1的参数方程为（t为参数），

化为普通方程是mx-3y+3-2m=0；

直线l2的极坐标方程为ρ（3cosθ+4sinθ）=4，

化为普通方程是3x+4y=4；

又∵直线l1⊥l2，

∴3m-3×4=0，

∴m=4；

（2）∵m=4，

∴l1的参数方程可化为（t为参数）；

又∵C的参数方程（θ为参数）化为普通方程是，

+=1；

把l1的参数方程代入得4（2+t）2+9=36；

即36t2+120t-55=0，

∴t1•t2=-，

∴|t1|•|t2|=|t1t2|=；

即点M（2，1）到A，B两点的距离之积为．

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题型：填空题

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填空题

在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（φ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为P（，）．设直线l与曲线C的两个交点为A、B，则|PA|•|PB|的值为______．

正确答案

8

解析

解：P的极坐标为P（，），直角坐标为（0，）在直线l上．

曲线C的参数方程为（φ为参数），普通方程为

直线l的参数方程为（t为参数）代人

得，t2+2t-8=0①

设t1，t2是方程①的两个实根，则t1t2=-8

∴|PA|•|PB|=|t1||t2|=|t1t2|=8．

故答案为：8．

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题型：单选题

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单选题

曲线C：（θ为参数）与直线l：（t为参数）的位置关系是（　　）

A相交

B相离

C相切

D不确定

正确答案

B

解析

解：曲线C：（θ为参数），标准方程是（x-1）2+y2=1，

圆心是（1，0），半径r是1，

直线l：（t为参数），普通方程为x+y+1=0，

∴圆心到直线的距离是d==＞1，

∴直线与圆相离，

故选：B．

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题型：填空题

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填空题

曲线（t为参数）的普通方程为______．

正确答案

将参数方程（θ为参数）化为普通方程为______．

正确答案

y=x-2（2≤x≤3）．

解析

解：由参数方程（θ为参数），

把y=sin2θ代入x=2+sin2θ得x=2+y（0≤y≤1）．即y=x-2（2≤x≤3）．

故答案为：y=x-2（2≤x≤3）．

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题型：简答题

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简答题

（1）在直角坐标系中，曲线C1：（其中θ为参数），直线C2：（其中t为参数）．点F（-4，0），曲线C1与直线C2相交于点A、B，求|FA|•|FB|的值．

（2）在极坐标系中，直线l：ρcos（θ-）=2，与以点M（4，π）为圆心，以5为半径的圆相交于P、Q两点，求|PQ|的值．

正确答案

解：（1）由，得，

把代入上式，得369t2-1440t-2025=0．

∴|FA|•|FB|=；

（2）由ρcos（θ-）=2，得，

即．

以点M（4，π）为圆心，以5为半径的圆的直角坐标方程为（x+4）2+y2=25．

圆心（-4，0）到直线的距离为d=，

∴|PQ|=2．

解析

解：（1）由，得，

把代入上式，得369t2-1440t-2025=0．

∴|FA|•|FB|=；

（2）由ρcos（θ-）=2，得，

即．

以点M（4，π）为圆心，以5为半径的圆的直角坐标方程为（x+4）2+y2=25．

圆心（-4，0）到直线的距离为d=，

∴|PQ|=2．

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题型：简答题

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简答题

已知曲线C：xy=1，现将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°，求所得曲线C′的方程．

正确答案

解：由题意，得旋转变换矩阵M==，

设xy=1上的任意点P‘（x'，y'）在变换矩阵M作用下为P（x，y），则

=，

∴，

代入xy=1，可得y′2-x′2=2

∴将曲线xy=1绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，所得曲线的方程为得y2-x2=2．

解析

解：由题意，得旋转变换矩阵M==，

设xy=1上的任意点P‘（x'，y'）在变换矩阵M作用下为P（x，y），则

=，

∴，

代入xy=1，可得y′2-x′2=2

∴将曲线xy=1绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，所得曲线的方程为得y2-x2=2．

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题型：简答题

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简答题

直线l的参数方程为为参数），圆C：为参数）．

（Ⅰ）以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；

（Ⅱ）直线l交圆C于A，B两点，求AB弦长．

正确答案

解：（Ⅰ）把圆C：为参数）利用同角三角函数的基本关系消去参数，

可得圆C的普通方程为x2+y2=4，它的极坐标方程为ρ=2．

（Ⅱ）把直线l的参数方程为为参数），消去参数，化为普通方程为y=-x+2，

圆心到直线l的距离为，

由垂径定理得，故．

解析

解：（Ⅰ）把圆C：为参数）利用同角三角函数的基本关系消去参数，

可得圆C的普通方程为x2+y2=4，它的极坐标方程为ρ=2．

（Ⅱ）把直线l的参数方程为为参数），消去参数，化为普通方程为y=-x+2，

圆心到直线l的距离为，

由垂径定理得，故．

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题型：简答题

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简答题

在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆C2的方程为ρ=-2cosθ+2sinθ．

（Ⅰ）求直线C1的普通方程和圆C2的圆心的极坐标；

（Ⅱ）设直线C1和圆C2的交点为A，B，求弦AB的长．

正确答案

解：（Ⅰ）由C1的参数方程消去参数t得普通方程为 x-y+1=0，

圆C2的直角坐标方程（x+1）2+=4，

所以圆心的直角坐标为（-1，），

所以圆心的一个极坐标为（2，）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知（-1，）到直线x-y+1=0 的距离 d==，

所以AB=2=．

解析

解：（Ⅰ）由C1的参数方程消去参数t得普通方程为 x-y+1=0，

圆C2的直角坐标方程（x+1）2+=4，

所以圆心的直角坐标为（-1，），

所以圆心的一个极坐标为（2，）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知（-1，）到直线x-y+1=0 的距离 d==，

所以AB=2=．

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