参数方程_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知曲线C的参数方程是（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，则在曲线C上到直线l的距离为的点有______个．

正确答案

3

解析

解：由曲线C的参数方程是（α为参数），消去参数α可得：x2+y2=8，可得圆心O（0，0），半径r=．

直线l的极坐标方程为，化为x=．

可得圆的切线x=2，此切线∥l，切点（2，0）到直线x=的距离为；

y轴∥l，且两条直线的距离为，联立，解得．

则点（0，±1）到直线x=的距离为．

综上可知：在曲线C上到直线l的距离为的点有3个．

故答案为：3．

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题型：填空题

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填空题

（选修4-4：坐标系与参数方程选讲）

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为．则曲线C上的点到直线l的最大距离是______．

正确答案

3

解析

解：由，得ρ（cosθ+sinθ）=4，

∴l：x+y-4=0．

在C：上任取一点，

则点P到直线l的距离为d==≤3．

∴当=-1时，dmax=3．

故答案为：．

1

题型：填空题

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填空题

已知在平面直角坐标系xOy中，经过点（0，）且斜率为k的直线l与曲线C：（θ是参数）有两个不同的交点P和Q，则k的取值范围为______．

正确答案

（-∞，-）∪（，+∞）

解析

解：根据曲线C：（θ是参数），得

，

∵经过点（0，）且斜率为k的直线l的方程为：

y-=kx，

∴y=kx+，

联立方程组，得

（1+4k2）x2+8kx+4=0，

∵直线l与曲线C有两个不同的交点，

∴△=128k2-4×4×（1+4k2）≥0，

∴k2≥，

∴k≤-或k，

∴k∈（-∞，-）∪（，+∞）．

故答案为：（-∞，-）∪（，+∞）．

1

题型：填空题

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填空题

已知直线l方程是（t为参数），以坐标原点为极点．x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2，则圆C上的点到直线l的距离最小值是______．

正确答案

2-2

解析

解：直线l的参数方程为（参数t∈R），消去t的普通方程为 x-y-4=0，

∵圆C的极坐标方程为ρ=2

∴圆C的普通方程为 x2+y2=4，圆心（0，0），半径为2，

则圆心C到直线l的距离为d==2，圆C上的点到直线l的距离最小值是d-r=2-2．

故答案为：2-2．

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题型：简答题

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简答题

已知圆C：（θ为参数）和直线θl：（其中t为参数，α为直线l的倾斜角）

（1）当时，求圆上的点到直线l的距离的最小值；

（2）当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围．

正确答案

解：（1）圆C：（θ为参数）的直角坐标方程为（x-1）2+y2=1，

当时，直线直线l：的直角坐标方程为x+y-3=0

圆心到直线的距离为：=

所以圆上的点到直线的距离的最小值为-1．

（2）∵直线l的参数方程为l：（t为参数，α为直线l的倾斜角），

消去参数t化为普通方程为tanα•x-y-2tanα+=0．

圆C化为直角坐标方程为（x-1）2+y2=1，

表示以C（1，0）为圆心，以1为半径的圆．

根据圆心C到直线的距离d=≤1，

解得tanα≥．

再由倾斜角α∈[0，π）可得，≤α＜，

故α的取值范围为[，]．

解析

解：（1）圆C：（θ为参数）的直角坐标方程为（x-1）2+y2=1，

当时，直线直线l：的直角坐标方程为x+y-3=0

圆心到直线的距离为：=

所以圆上的点到直线的距离的最小值为-1．

（2）∵直线l的参数方程为l：（t为参数，α为直线l的倾斜角），

消去参数t化为普通方程为tanα•x-y-2tanα+=0．

圆C化为直角坐标方程为（x-1）2+y2=1，

表示以C（1，0）为圆心，以1为半径的圆．

根据圆心C到直线的距离d=≤1，

解得tanα≥．

再由倾斜角α∈[0，π）可得，≤α＜，

故α的取值范围为[，]．

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题型：简答题

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简答题

（2016•泰州一模）在平面直角坐标系xoy中，已知直线C1：（t为参数）与椭圆C2：（θ为参数，a＞0）的一条准线的交点位于y轴上，求实数a的值．

正确答案

解：直线C1：2x+y=9，

椭圆C2：，…（5分）

准线：

由得，…（10分）

解析

解：直线C1：2x+y=9，

椭圆C2：，…（5分）

准线：

由得，…（10分）

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题型：简答题

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简答题

长为3的线段两端点A，B分别在x轴正半轴和y轴的正半轴上滑动，=2，点P的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）以直线AB的倾斜角α为参数，写出曲线C的参数方程；

（Ⅱ）求点P到点D（0，-1）距离d的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）设P（x，y），则根据题设画图，

可知：x=|AB|cos（π-α）=-2cosα，y==sinα，

曲线C的参数方程是（α为参数，且）；

（Ⅱ）设P（-2cosα，sinα），则

|PD|=

=

=，

∵，∴sinα∈（0，1），

∴，

故d的取值范围是．

解析

解：（Ⅰ）设P（x，y），则根据题设画图，

可知：x=|AB|cos（π-α）=-2cosα，y==sinα，

曲线C的参数方程是（α为参数，且）；

（Ⅱ）设P（-2cosα，sinα），则

|PD|=

=

=，

∵，∴sinα∈（0，1），

∴，

故d的取值范围是．

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题型：简答题

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简答题

已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．写出直线l与曲线C的直角坐标系下的方程．

正确答案

解：曲线C的极坐标方程是ρ=2，化为直角坐标系下的方程普通方程是x2+y2=4．

直线l的参数方程为（t为参数），化为普通方程是y-1=-（x-2），

即x+y-1-2=0．

解析

解：曲线C的极坐标方程是ρ=2，化为直角坐标系下的方程普通方程是x2+y2=4．

直线l的参数方程为（t为参数），化为普通方程是y-1=-（x-2），

即x+y-1-2=0．

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题型：单选题

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单选题

直线的参数方程，该直线上对应点A，B的参数分别是t1，t2那么A到B的距离是

（　　）

A|t1+t2|

B|t1|+|t2|

C|t1|-|t2|

D|t1-t2|

正确答案

D

解析

解：由直线的参数方程，

知直线经过定点P（x0，y0），直线的倾斜角为θ．

如图，

不妨规定直线AB向上的方向为正方向，

参数t1的几何意义为的数量，t2的几何意义为的数量，

∴A到B的距离|AB|=|t1-t2|．

故选：D．

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题型：简答题

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简答题

（2016•南昌一模）已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）

（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．

正确答案

解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，

∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：

ρ2=4ρcosθ，

∴x2+y2=4x，

∴（x-2）2+y2=4．

（2）将代入圆的方程（x-2）2+y2=4得：

（tcosα-1）2+（tsinα）2=4，

化简得t2-2tcosα-3=0．

设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，

则，

∴|AB|=|t1-t2|==，

∵|AB|=，

∴=．

∴cos．

∵α∈[0，π），

∴或．

∴直线的倾斜角或．

解析

解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，

∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：

ρ2=4ρcosθ，

∴x2+y2=4x，

∴（x-2）2+y2=4．

（2）将代入圆的方程（x-2）2+y2=4得：

（tcosα-1）2+（tsinα）2=4，

化简得t2-2tcosα-3=0．

设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，

则，

∴|AB|=|t1-t2|==，

∵|AB|=，

∴=．

∴cos．

∵α∈[0，π），

∴或．

∴直线的倾斜角或．

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题型：简答题

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简答题

（2014春•溧阳市期末）已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρsin（）=0，且曲线C1与曲线C2在第一象限的交点为A，长方形ABCD的顶点都在C1上（其中A、B、C、D依次逆时针次序排列）求A、B、C、D的直角坐标．

正确答案

解：由曲线C1的参数方程是（φ为参数），化为直角坐标方程：+=1，

曲线C2的极坐标方程是ρsin（）=0，化为=0，可得：y-x=0．

联立，交点，或，

取点A．

由题意可得：B，C，D．

解析

解：由曲线C1的参数方程是（φ为参数），化为直角坐标方程：+=1，

曲线C2的极坐标方程是ρsin（）=0，化为=0，可得：y-x=0．

联立，交点，或，

取点A．

由题意可得：B，C，D．

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题型：简答题

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简答题

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]

（Ⅰ）求C的参数方程；

（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．

正确答案

解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x-1）2+y2=1（0≤y≤1）．

可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．

（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，

∵C在点D处的切线与l垂直，∴直线CD与l的斜率相同，，t=．

故D的直角坐标为，即．

解析

解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x-1）2+y2=1（0≤y≤1）．

可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．

（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，

∵C在点D处的切线与l垂直，∴直线CD与l的斜率相同，，t=．

故D的直角坐标为，即．

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题型：填空题

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填空题

在曲线上，仅存在四个点到点（1，0）距离与到直线x=-1的距离相等，则t的取值范围是______．

正确答案

（4，5）

解析

解：到点（1，0）距离与到直线x=-1的距离相等的点的轨迹是抛物线y2=4x．

由曲线消去参数θ，化为（x-t）2+y2=16，圆心C（t，0），半径r=4．

联立消去y得到关于x的一元二次方程x2+（4-2t）x+t2-16=0，

由△=（4-2t）2-4（t2-16）＞0，解得t＜5．

满足仅存在四个点到点（1，0）距离与到直线x=-1的距离相等，必须满足t＞4．

因此所求的t的取值范围为（4，5）．

故答案为（4，5）．

1

题型：简答题

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简答题

已知曲线C的参数方程为（t为参数），求曲线C的普通方程．

正确答案

解：解方程组，可得x+=2et，x-=2e-t，

两方程相乘可得=4．

解析

解：解方程组，可得x+=2et，x-=2e-t，

两方程相乘可得=4．

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题型：单选题

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单选题

方程（t为参数）的图形是（　　）

A双曲线左支

B双曲线右支

C双曲线上支

D双曲线下支

正确答案

B

解析

解：由x=et+e-t平方得x2=e2t+e-2t+2，

代入y=et-e-t得y2=e2t+e-2t-2，

两式相减，整理得，x2-y2=4，

又x=x=et+e-t=2，

所以普通方程为：x2-y2=4（x≥2），图形是双曲线右支．

故选B．

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