- 绝对值不等式
- 共1623题
关于x的不等式|x|-|x-1|≤a在R上恒成立(a是常数),则实数a的取值范围是______.
正确答案
a≥1
解析
解:令函数g(x)=|x|-|x-1|.
当x>1时,g(x)=x-(x-1)=1.
当x<0时,g(x)=-x-(1-x)=-1
当0≤x≤1时,g(x)=x-(1-x)=2x-1,-1≤g(x)=2x-1≤1.
故-1≤g(x)≤1.要使关于x的不等式g(x)≤a恒成立.故a≥1.
故答案为a≥1.
如果|x+1|+|x+6|>a对任意实数x总成立,则a的取值范围是( )
正确答案
解析
解:∵不等式|x+1|+|x+6|>a恒成立,
∴a小于|x+1|+|x+6|的最小值.
根据绝对值的几何意义,|x+1|+|x+6|表示在数轴上点x到-1、-6两点的距离之和.
∴当x在-1、-6点之间时(包括-1、-6点),这个距离之和的最小值为5
即当-6≤x≤-1时,|x+1|+|x+6|取得最小值5,
综上所述,可得a<5
故选:D
不等式||>
的解集是( )
正确答案
解析
解:分析不等式||>
,
故的值必为负数.
即,
解得0<x<2.
故选A.
(2015秋•上海校级月考)集合A={ t|t∈Z,关于x的不等式x2≤2-|x-t|至少有一个负数解 },则集合A中的元素之和等于______.
正确答案
-2
解析
解:原不等式x2≤2-|x-t|化成:
|x-t|≤2-x2且 0<2-x2在同一坐标系画出y=2-x2(x<0,y<0)和 y=|x|两个图象
将绝对值函数y=|x|向右移动当左支经过 (0,2)点,a=2
将绝对值函数y=|x|向左移动让右支与抛物线相切 (-,
)点,a=-
故实数t的取值范围是(-,2)又t∈Z,
∴t=-2,-1,0,1.A={-2,-1,0,1}
则集合A中的元素之和等于-2
故答案为:-2.
已知不等式|x+1|-a<|x-2|的解集为(-∞,2),则a的值为______.
正确答案
3
解析
解:由题意可得不等式|x+1|-|x-2|<a 的解集为(-∞,2),
|x+1|-|x-2|表示数轴上的x对应点到-1对应点的距离减去数轴上的x对应点到2对应点的距离,
当x≥2时,|x+1|-|x-2|=3,当x<2时,|x+1|-|x-2|<3,
故a的值为3,
故答案为 3.
不等式|2x-1-log3(x-1)|<|2x-1|+|log3(x-1)|的解集是______.
正确答案
(2,+∞)
解析
解:∵|2x-1-log3(x-1)|<|2x-1|+|log3(x-1)|⇔|(2x-1)-log3(x-1)|2<(2x-1)2+log32(x-1)+2(2x-1)•log3(x-1)⇒4(2x-1)•log3(x-1)>0,
∴,解得x>2;或
,x∈∅,
∴不等式|2x-1-log3(x-1)|<|2x-1|+|log3(x-1)|的解集是(2,+∞).
故答案为:(2,+∞).
定义max{a,b,c}为a、b、c中的最大者,令M=max{|1+a+2b|,|1+a-2b|,|2+b|},则对任意实数a,b,M的最小值是( )
正确答案
解析
解:由题意,M≥=|1+a+2b|=|-1-a-2b|,M≥|1+a-2b|,4M≥4|2+b|
∴6M≥|-1-a-2b|+|1+a-2b|+4|2+b|≥|-(1+a-2b)+(1+a-2b)+4(2+b)|=8
∴M≥
M的最小值是
故选B
若不等式|ax+2|<6的解集为(-1,2),则实数a等于______.
正确答案
解:∵不等式|ax+2|<6的解集为(-1,2),
∴
∴a=-4
故答案为:-4
解析
解:∵不等式|ax+2|<6的解集为(-1,2),
∴
∴a=-4
故答案为:-4
不等式|x|•(x-1)<0的解集是______.
正确答案
{x|x<1且x≠0}
解析
解:由不等式|x|•(x-1)<0 可得 x≠0 且 x-1<0,
解得 x<1且x≠0,
故答案为 {x|x<1且x≠0}.
(2015秋•菏泽期末)已知f(x)是R上的增函数,A(0,-1),B(3,1)是其图象上的两个点,那么|f(x+1)|<1的解集是______.
正确答案
(-1,2)
解析
解:由题意知,当0≤x≤3时,-1≤f(x)≤1,
即|f(x)|≤1时,0≤x≤3,
所以|f(x+1)|<1⇒0<x+1<3,
所以-1<x<2,
故答案为:(-1,2)
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