- 绝对值不等式
- 共1623题
若关于实数x的不等式|x-5|+|x+3|<a无解,则实数a的取值范围是( )
正确答案
解析
解:由于|x-5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和-3对应点的距离之和,其最小值为8,
再由关于实数x的不等式|x-5|+|x+3|<a无解,可得a≤8,
故选:A.
设函数f(x)=|x-1|+|x-a|,
(1)若a=-1,解不等式f(x)≥3;
(2)如果x∈R,f(x)≥2,求a的取值范围.
正确答案
解:(1)当a=-1时,f(x)=|x-1|+|x+1|,由f(x)≥3有|x-1|+|x+1|≥3
据绝对值几何意义求解,|x-1|+|x+1|≥3几何意义,是数轴上表示实数x的点距离实数1,-1表示的点距离之和不小3,
由于数轴上数-左侧的点与数
右侧的点与数-1与1的距离之和不小3,
所以所求不等式解集为(-∞,-]∪[
,+∞)
(2)由绝对值的几何意义知,数轴上到1的距离与到a的距离之和大于等于2恒成立,则1与a之间的距离必大于等于2,从而有a∈(-∞,-1]∪[3,+∞)
解析
解:(1)当a=-1时,f(x)=|x-1|+|x+1|,由f(x)≥3有|x-1|+|x+1|≥3
据绝对值几何意义求解,|x-1|+|x+1|≥3几何意义,是数轴上表示实数x的点距离实数1,-1表示的点距离之和不小3,
由于数轴上数-左侧的点与数
右侧的点与数-1与1的距离之和不小3,
所以所求不等式解集为(-∞,-]∪[
,+∞)
(2)由绝对值的几何意义知,数轴上到1的距离与到a的距离之和大于等于2恒成立,则1与a之间的距离必大于等于2,从而有a∈(-∞,-1]∪[3,+∞)
若不等式(lgx)2<|lgx|<|logx10|成立,则实数x的一个取值区间为( )
正确答案
解析
解:∵不等式(lgx)2<|lgx|<|logx10|成立,∴-1<lgx<1,
解得 <x<10,
故选C.
已知函数f(x)=log2(|x+1|+|x-2|-m).
(1)当m=5时,求函数f(x)的定义域;
(2)若关于x的不等式f(x)≥1的解集是R,求m的取值范围.
正确答案
解:(1)由题设知:当m=5时:|x+1|+|x-2|>5,
不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集:
,或
,或
,
解得函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(3,+∞);
(2)不等式f(x)≥1即log2(|x+1|+|x-2|-m)≥1.
即|x+1|+|x-2|≥m+2,
∵x∈R时,恒有|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,
不等式|x+1|+|x-2|≥m+2解集是R,
∴m+2≤3,m的取值范围是(-∞,1].
故答案为:(-∞,1].
解析
解:(1)由题设知:当m=5时:|x+1|+|x-2|>5,
不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集:
,或
,或
,
解得函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(3,+∞);
(2)不等式f(x)≥1即log2(|x+1|+|x-2|-m)≥1.
即|x+1|+|x-2|≥m+2,
∵x∈R时,恒有|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,
不等式|x+1|+|x-2|≥m+2解集是R,
∴m+2≤3,m的取值范围是(-∞,1].
故答案为:(-∞,1].
(不等式选讲)
设函数f(x)=|x+3|-|x-4|
①解不等式f(x)>3;
②求函数f(x)的最小值.
正确答案
解:①不等式f(x)>3,即|x+3|-|x-4|>3.而|x+3|-|x-4|表示数轴上的x对应点到-3对应点和4对应点
的距离之差,数轴上的2对应点到-3对应点和4对应点的距离之差为3,
故不等式的解集为{x|x>2}. …(3分)
②f(x)=|x+3|-|x-4|表示数轴上的x对应点到-3对应点和4对应点的距离之差,
可得函数f(x)的最小值为-7.(7分)
解析
解:①不等式f(x)>3,即|x+3|-|x-4|>3.而|x+3|-|x-4|表示数轴上的x对应点到-3对应点和4对应点
的距离之差,数轴上的2对应点到-3对应点和4对应点的距离之差为3,
故不等式的解集为{x|x>2}. …(3分)
②f(x)=|x+3|-|x-4|表示数轴上的x对应点到-3对应点和4对应点的距离之差,
可得函数f(x)的最小值为-7.(7分)
如果关于x的不等式|x-1|+|x+2|<a的解集不是空集,则实数a的取值范围为______.
正确答案
(3,+∞)
解析
解:|x-1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到1和-2对应点的距离之和,其最小值为3,故当a>3时,关于x的不等式|x-1|+|x+2|<a的解集不是空集,
故实数a的取值范围为(3,+∞),
故答案为 (3,+∞).
(2011年高考山东卷)不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是( )
正确答案
解析
解:方法一:当x≤-3时,原不等式可化为5-x-x-3≥10,即2x≤-8.
∴x≤-4,此时不等式的解集为{x|x≤-4}.
当-3<x≤5时,原不等式可化为5-x+x+3≥10,此时无解.
当x>5时,原不等式可化为x-5+x+3≥10,解得x≥6,此时不等式的解集为{x|x≥6}.
综上可知,原不等式的解集为{x|x≤-4或x≥6},
故选D.
方法二:由绝对值的几何意义可知,|x-5|+|x+3|表示数轴上的点x到点-3和5两点的距离之和,
又点-4和6到点-3和5的距离之和都为10,
如图,故满足|x-5|+|x+3|≥10的解集为(-∞,-4]∪[6,+∞).
故选D.
已知函数f(x)=,若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是( )
正确答案
解析
解:已知函数f(x)=
,如图所示,
当x≤0时,|f(x)|=x2-2x,函数|f(x)|在原点处的导数值为(2x-2)|x=0=-2;
当x>0时,函数|f(x)|=ex-1 在原点处的导数值为ex|x=0=1,
故当|f(x)|≥ax时,有-2≤a≤1,
即a的取值范围是[-2,1],
故选:D.
已知适合不等式|x2-4x+a|+|x-3|≤5的x的最大值为3,求实数a的值,并解该不等式.
正确答案
解:已知适合不等式|x2-4x+a|+|x-3|≤5的x的最大值为3,即x≤3,所以|x-3|=3-x.
(1)若x2-4x+a<0,则原不等式化为x2-3x+a+2≥0.
此不等式的解集不可能是集合{x|x≤3}的子集,所以x2-4x+a<0不成立.
(2)若x2-4x+a≥0,则原不等式化为x2-5x+a-2≤0.因为x≤3,
令x2-5x+a-2=(x-3)(x-m)=x2-(m+3)x+3m,比较系数,得m=2,所以a=8.
此时,原不等式的解集为{x|2≤x≤3}
故答案为a=8,不等式解集为{x|2≤x≤3}.
解析
解:已知适合不等式|x2-4x+a|+|x-3|≤5的x的最大值为3,即x≤3,所以|x-3|=3-x.
(1)若x2-4x+a<0,则原不等式化为x2-3x+a+2≥0.
此不等式的解集不可能是集合{x|x≤3}的子集,所以x2-4x+a<0不成立.
(2)若x2-4x+a≥0,则原不等式化为x2-5x+a-2≤0.因为x≤3,
令x2-5x+a-2=(x-3)(x-m)=x2-(m+3)x+3m,比较系数,得m=2,所以a=8.
此时,原不等式的解集为{x|2≤x≤3}
故答案为a=8,不等式解集为{x|2≤x≤3}.
已知函数f(x)的定义域为R,若存在常数m>0,对任意x∈R,有|f(x)|≤m|x|,则称函数f(x)为F-函数.给出下列函数:①f(x)=x2;②f(x)=;③f(x)=2x;④f(x)=sin2x.其中是F-函数的序号为______.
正确答案
②④
解析
解:对于①,|f(x)|<m|x|,显然不成立,故其不是F-函数.
对于②f(x)=,|f(x)|=
=
≤1×|x|,故函数f(x)为F-函数.
对于③f(x)=2x ,|f(x)|<m|x|,显然不成立,故其不是F函数.
对于 ④f(x)=sin2x,由于|f(x)|=|sin2x|≤|2x|=2|x|,故函数f(x)为F-函数.
故答案为 ②④.
扫码查看完整答案与解析