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题型:填空题
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填空题

(不等式选讲)若不等式|x-2|+|x+3|<a的解集为∅,则实数a的取值范围为______

正确答案

(-∞,5]

解析

解:|x-2|+|x+3|表示数轴上的x到-3和2的距离之和,其最小值等于5,∵不等式|x-2|+|x+3|<a的解集为∅,

∴a≤5,

故答案为:(-∞,5].

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题型:填空题
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填空题

(2013•郴州校级模拟)对任意实数a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立,则实数x的取值范围是______

正确答案

解析

解:由绝对值不等式的性质可得|a+b|+|a-b|≥|a+b+(a-b)|=2|a|,

再由不等式|a+b|+|a-b|≥|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立,可得2|a|≥|a|(|x-1|+|x-2|),

故有2|a|≥|a|(|x-1|+|x-2|),即 2≥|x-1|+|x-2|.

而由绝对值的意义可得|x-1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和,而对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2,

故2≥|x-1|+|x-2|的解集为

故答案为

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题型:填空题
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填空题

若关于x的不等式仅有负数解,则实数a的取值范围是______

正确答案

(-,-1]

解析

解:在同一坐标系画出函数y=|x-1|和 y= 的图象,

当y=|x-1|过点(0,-a)时,-a=|0-1|=1,∴a=-1.

当y= 和直线y=-x+1相切时,-x+1=,即x2+2x-2a-2=0,

由判别式△=4-4(-2a-2)=0,解得a=-

数形结合可得实数a的取值范围是 (-,-1],

故答案为 (-,-1].

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题型:简答题
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简答题

已知f(x)=x|x-a|-2.

(1)若f(1)≤1,求a的取值范围;

(2)若a>0,求f(x)的单调区间;

(3)若当x∈[0,1]时,恒有f(x)<0,求实数a的取值范围.

正确答案

解:(1)f(1)≤1,即|1-a|-2≤1,即|1-a|≤3,即|a-1|≤3,∴-3≤a-1≤3.

解得-2≤a≤4,故a的取值范围为[-2,4].

(2)由于 f(x)=x|x-a|-2=

故函数f(x)的单调增区间为,单调减区间为

(3)x=0时,f(x)=-2<0成立;  由于当x∈(0,1]时,恒有f(x)<0,故x|x-a|<2,∴

∴-,∴x-<a<x+,∴

,则g(x)max<a<h(x)min,再由 g(x)在(0,1]单调增,h(x)在(0,1]单调减,

∴g(1)<a<h(1),

∴a∈(-1,3).

解析

解:(1)f(1)≤1,即|1-a|-2≤1,即|1-a|≤3,即|a-1|≤3,∴-3≤a-1≤3.

解得-2≤a≤4,故a的取值范围为[-2,4].

(2)由于 f(x)=x|x-a|-2=

故函数f(x)的单调增区间为,单调减区间为

(3)x=0时,f(x)=-2<0成立;  由于当x∈(0,1]时,恒有f(x)<0,故x|x-a|<2,∴

∴-,∴x-<a<x+,∴

,则g(x)max<a<h(x)min,再由 g(x)在(0,1]单调增,h(x)在(0,1]单调减,

∴g(1)<a<h(1),

∴a∈(-1,3).

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题型: 单选题
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单选题

若关于x的不等式|x+2|-|x-3|≤a有解,则a的取值范围为(  )

A[5,+∞)

B(-∞,5]

C[-5,+∞)

D(-∞,-5]

正确答案

C

解析

解:令y=|x+2|-|x-3|,

∵||x+2|-|x-3||≤|x+2-(x-3)|=5,

∴-5≤|x+2|-|x-3|≤5,

则函数y=|x+2|-|x-3|的值域为[-5,5],

若不等式|x+2|-|x-3|≤a有解,

则a≥-5

故实数a的取值范围是[-5,+∞)

故选C.

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题型:简答题
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简答题

将2006表示成5个正整数x1,x2,x3,x4,x5之和.记S=xixj.问:

(1)当x1,x2,x3,x4,x5取何值时,S取到最大值;

(2)进一步地,对任意1≤i,j≤5有≤2,当x1,x2,x3,x4,x5取何值时,S取到最小值.说明理由.

正确答案

解:(1)首先这样的S的值是有界集,故必存在最大值与最小值. 

x1+x2+x3+x4+x5=2006,且使S=取到最大值,则必有|xi-xj|≤1(1≤i,j≤5)…(5分)     (*)

事实上,假设(*)不成立,不妨假设x1-x2≥2,则令x1=x1-1,x2′=x2+1,xi′=xi (i=3,4,5),有x1′+x2′=x1+x2,x1′•x2′=x1x2+x1-x2-1>x1x2

将S改写成S==x1x2+(x1+x2)(x3+x4+x5)+x3x4+x3x5+x4x5

同时有 S′=x1′x2′+(x1′+x2′)((x3+x4+x5)+x3x4+x3x5+x4x5

于是有S′-S=x1′x2′-x1x2>0.

这与S在x1,x2,x3,x4,x5时取到最大值矛盾.

所以必有|xi-xj|≤1,(1≤i,j≤5).

因此当x1=402,x2=x3=x4=x5=401时S取到最大值.            …(10分)

(2)当x1+x2+x3+x4+x5=2006,且|xi-xj|≤2时,只有

(1)402,402,402,400,400;

(2)402,402,401,401,400;

(3)402,401,401,401,401;

三种情形满足要求.                                  …(15分)

而后两种情形是由第一组作xi′=xi-1,xj′=xj+1调整下得到的.

根据上一小题的证明可知道,每次调整都使和式S=变大.

所以在x1=x2=x3=402,x4=x5=400时S取到最小值.…(20分)

解析

解:(1)首先这样的S的值是有界集,故必存在最大值与最小值. 

x1+x2+x3+x4+x5=2006,且使S=取到最大值,则必有|xi-xj|≤1(1≤i,j≤5)…(5分)     (*)

事实上,假设(*)不成立,不妨假设x1-x2≥2,则令x1=x1-1,x2′=x2+1,xi′=xi (i=3,4,5),有x1′+x2′=x1+x2,x1′•x2′=x1x2+x1-x2-1>x1x2

将S改写成S==x1x2+(x1+x2)(x3+x4+x5)+x3x4+x3x5+x4x5

同时有 S′=x1′x2′+(x1′+x2′)((x3+x4+x5)+x3x4+x3x5+x4x5

于是有S′-S=x1′x2′-x1x2>0.

这与S在x1,x2,x3,x4,x5时取到最大值矛盾.

所以必有|xi-xj|≤1,(1≤i,j≤5).

因此当x1=402,x2=x3=x4=x5=401时S取到最大值.            …(10分)

(2)当x1+x2+x3+x4+x5=2006,且|xi-xj|≤2时,只有

(1)402,402,402,400,400;

(2)402,402,401,401,400;

(3)402,401,401,401,401;

三种情形满足要求.                                  …(15分)

而后两种情形是由第一组作xi′=xi-1,xj′=xj+1调整下得到的.

根据上一小题的证明可知道,每次调整都使和式S=变大.

所以在x1=x2=x3=402,x4=x5=400时S取到最小值.…(20分)

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题型:简答题
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简答题

设对于不大于的所有正实数a,如果满足不等式|x-a|<b的一切实数x,也满足不等式,求实数b的取值范围.

正确答案

解:由题意可得b>0是不用求的,否则|x-a|<b都没解了.

故有-b<x-a<b,即a-b<x<a+b.

由不等式可得,-<x-a2,即 a2-<x<a2+

第二个不等式的范围要大于第一个不等式,这样只要满足了第一个不等式,

肯定满足第二个不等式,命题成立.

故有 a2-≤a-b,且 a+b≤a2+,0<a≤

化简可得 b≤-a2+a+,且b≤a2-a+

由于-a2+a+=-+∈[],故 b≤

由于 a2-a+=+∈[].故 b≤

综上可得 0<b≤

解析

解:由题意可得b>0是不用求的,否则|x-a|<b都没解了.

故有-b<x-a<b,即a-b<x<a+b.

由不等式可得,-<x-a2,即 a2-<x<a2+

第二个不等式的范围要大于第一个不等式,这样只要满足了第一个不等式,

肯定满足第二个不等式,命题成立.

故有 a2-≤a-b,且 a+b≤a2+,0<a≤

化简可得 b≤-a2+a+,且b≤a2-a+

由于-a2+a+=-+∈[],故 b≤

由于 a2-a+=+∈[].故 b≤

综上可得 0<b≤

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题型:填空题
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填空题

(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)

A.(不等式选做题)若关于x的不等式|x+1|+|x-2|≤a有解,则实数a的取值范围是______

B.(几何证明选做题)如图所示,圆O是△ABC的外接圆,过C点的切线交AB的延长线于点D,,AB=BC=3,则AC长______

C.(坐标系与参数方程选做题)极坐标系下,直线与圆的公共点个数是______

正确答案

[3,+∞)

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解析

解:A.∵|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,即|x+1|+|x-2|≥3,

由关于x的不等式|x+1|+|x-2|≤a有解,知a≥3,

故答案为[3,+∞).

B.由切割线定理得:DB•DA=DC2,即DB(DB+BA)=DC2,∴DB2+3DB-28=0,得DB=4.

∵∠A=∠BCD,∴△DBC∽△DCA,∴,解得AC==

故答案为

C.直线ρcos(θ-)= 即 ρcosθ+ρsinθ=,化为直角坐标方程为 x+y-2=0,

圆ρ=2 即 x2+y2=4,圆心到直线的距离等于 =<2(半径),

故直线和圆相交,故直线和圆有两个交点,

故答案为 2.

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题型: 单选题
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单选题

关于x的不等式|x-1|-|x-2|≤a2+a-3的解集是空集,则a的取值范围是(  )

A(0,1)

B(-1,0)

C(-2,1)

D(-∞,-1)

正确答案

C

解析

解:设f(x)=|x-1|-|x-2|

当x<1时,f(x)=-(x-1)+(x-2)=-1,

当x>2,f(x)=(x-1)-(x-2)=1,

当1≤x≤2,f(x)=(x-1)+(x-2)=2x-3,故此时有-1≤f(x)=2x-3≤1.

综上所述f(x)=|x-1|-|x-2|的最小值为-1,

要使得关于x的不等式|x-1|-|x-2|≤a2+a+1的解集是空集,

只要使得a2+a+1的最小值小于f(x)=|x-1|-|x-2|的最小值即可.

即a2+a-3≤-1,a2+a-2≤0解得-2≤a≤1,

故答案选择C.

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题型:简答题
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简答题

已知p:|1-|≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若¬p是¬q的充分而不必要条件,求实数m的取值范围.

正确答案

解:由x2-2x+1-m2≤0(m>0)得  1-m≤x≤1+m

故¬q:A={x|x<1-m或x>1+m,m>0}

由  ,得-2≤x≤10

故¬p:B={x|x<-2或x>10}

∵¬p是¬q的充分而不必要条件

解得 0<m≤3

∴实数m的取值范围  0<m≤3

解析

解:由x2-2x+1-m2≤0(m>0)得  1-m≤x≤1+m

故¬q:A={x|x<1-m或x>1+m,m>0}

由  ,得-2≤x≤10

故¬p:B={x|x<-2或x>10}

∵¬p是¬q的充分而不必要条件

解得 0<m≤3

∴实数m的取值范围  0<m≤3

百度题库 > 高考 > 数学 > 绝对值不等式

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