- 绝对值不等式
- 共1623题
(不等式选讲)若不等式|x-2|+|x+3|<a的解集为∅,则实数a的取值范围为______.
正确答案
(-∞,5]
解析
解:|x-2|+|x+3|表示数轴上的x到-3和2的距离之和,其最小值等于5,∵不等式|x-2|+|x+3|<a的解集为∅,
∴a≤5,
故答案为:(-∞,5].
(2013•郴州校级模拟)对任意实数a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立,则实数x的取值范围是______.
正确答案
解析
解:由绝对值不等式的性质可得|a+b|+|a-b|≥|a+b+(a-b)|=2|a|,
再由不等式|a+b|+|a-b|≥|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立,可得2|a|≥|a|(|x-1|+|x-2|),
故有2|a|≥|a|(|x-1|+|x-2|),即 2≥|x-1|+|x-2|.
而由绝对值的意义可得|x-1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和,而和
对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2,
故2≥|x-1|+|x-2|的解集为 ,
故答案为 .
若关于x的不等式仅有负数解,则实数a的取值范围是______.
正确答案
(-,-1]
解析
解:在同一坐标系画出函数y=|x-1|和 y=
的图象,
当y=|x-1|过点(0,-a)时,-a=|0-1|=1,∴a=-1.
当y= 和直线y=-x+1相切时,-x+1=
,即x2+2x-2a-2=0,
由判别式△=4-4(-2a-2)=0,解得a=-.
数形结合可得实数a的取值范围是 (-,-1],
故答案为 (-,-1].
已知f(x)=x|x-a|-2.
(1)若f(1)≤1,求a的取值范围;
(2)若a>0,求f(x)的单调区间;
(3)若当x∈[0,1]时,恒有f(x)<0,求实数a的取值范围.
正确答案
解:(1)f(1)≤1,即|1-a|-2≤1,即|1-a|≤3,即|a-1|≤3,∴-3≤a-1≤3.
解得-2≤a≤4,故a的取值范围为[-2,4].
(2)由于 f(x)=x|x-a|-2=,
故函数f(x)的单调增区间为,单调减区间为
.
(3)x=0时,f(x)=-2<0成立; 由于当x∈(0,1]时,恒有f(x)<0,故x|x-a|<2,∴,
∴-<
,∴x-
<a<x+
,∴
.
令,则g(x)max<a<h(x)min,再由 g(x)在(0,1]单调增,h(x)在(0,1]单调减,
∴g(1)<a<h(1),
∴a∈(-1,3).
解析
解:(1)f(1)≤1,即|1-a|-2≤1,即|1-a|≤3,即|a-1|≤3,∴-3≤a-1≤3.
解得-2≤a≤4,故a的取值范围为[-2,4].
(2)由于 f(x)=x|x-a|-2=,
故函数f(x)的单调增区间为,单调减区间为
.
(3)x=0时,f(x)=-2<0成立; 由于当x∈(0,1]时,恒有f(x)<0,故x|x-a|<2,∴,
∴-<
,∴x-
<a<x+
,∴
.
令,则g(x)max<a<h(x)min,再由 g(x)在(0,1]单调增,h(x)在(0,1]单调减,
∴g(1)<a<h(1),
∴a∈(-1,3).
若关于x的不等式|x+2|-|x-3|≤a有解,则a的取值范围为( )
正确答案
解析
解:令y=|x+2|-|x-3|,
∵||x+2|-|x-3||≤|x+2-(x-3)|=5,
∴-5≤|x+2|-|x-3|≤5,
则函数y=|x+2|-|x-3|的值域为[-5,5],
若不等式|x+2|-|x-3|≤a有解,
则a≥-5
故实数a的取值范围是[-5,+∞)
故选C.
将2006表示成5个正整数x1,x2,x3,x4,x5之和.记S=xixj.问:
(1)当x1,x2,x3,x4,x5取何值时,S取到最大值;
(2)进一步地,对任意1≤i,j≤5有≤2,当x1,x2,x3,x4,x5取何值时,S取到最小值.说明理由.
正确答案
解:(1)首先这样的S的值是有界集,故必存在最大值与最小值.
x1+x2+x3+x4+x5=2006,且使S=取到最大值,则必有|xi-xj|≤1(1≤i,j≤5)…(5分) (*)
事实上,假设(*)不成立,不妨假设x1-x2≥2,则令x1′′=x1-1,x2′=x2+1,xi′=xi (i=3,4,5),有x1′+x2′=x1+x2,x1′•x2′=x1x2+x1-x2-1>x1x2.
将S改写成S==x1x2+(x1+x2)(x3+x4+x5)+x3x4+x3x5+x4x5
同时有 S′=x1′x2′+(x1′+x2′)((x3+x4+x5)+x3x4+x3x5+x4x5.
于是有S′-S=x1′x2′-x1x2>0.
这与S在x1,x2,x3,x4,x5时取到最大值矛盾.
所以必有|xi-xj|≤1,(1≤i,j≤5).
因此当x1=402,x2=x3=x4=x5=401时S取到最大值. …(10分)
(2)当x1+x2+x3+x4+x5=2006,且|xi-xj|≤2时,只有
(1)402,402,402,400,400;
(2)402,402,401,401,400;
(3)402,401,401,401,401;
三种情形满足要求. …(15分)
而后两种情形是由第一组作xi′=xi-1,xj′=xj+1调整下得到的.
根据上一小题的证明可知道,每次调整都使和式S=变大.
所以在x1=x2=x3=402,x4=x5=400时S取到最小值.…(20分)
解析
解:(1)首先这样的S的值是有界集,故必存在最大值与最小值.
x1+x2+x3+x4+x5=2006,且使S=取到最大值,则必有|xi-xj|≤1(1≤i,j≤5)…(5分) (*)
事实上,假设(*)不成立,不妨假设x1-x2≥2,则令x1′′=x1-1,x2′=x2+1,xi′=xi (i=3,4,5),有x1′+x2′=x1+x2,x1′•x2′=x1x2+x1-x2-1>x1x2.
将S改写成S==x1x2+(x1+x2)(x3+x4+x5)+x3x4+x3x5+x4x5
同时有 S′=x1′x2′+(x1′+x2′)((x3+x4+x5)+x3x4+x3x5+x4x5.
于是有S′-S=x1′x2′-x1x2>0.
这与S在x1,x2,x3,x4,x5时取到最大值矛盾.
所以必有|xi-xj|≤1,(1≤i,j≤5).
因此当x1=402,x2=x3=x4=x5=401时S取到最大值. …(10分)
(2)当x1+x2+x3+x4+x5=2006,且|xi-xj|≤2时,只有
(1)402,402,402,400,400;
(2)402,402,401,401,400;
(3)402,401,401,401,401;
三种情形满足要求. …(15分)
而后两种情形是由第一组作xi′=xi-1,xj′=xj+1调整下得到的.
根据上一小题的证明可知道,每次调整都使和式S=变大.
所以在x1=x2=x3=402,x4=x5=400时S取到最小值.…(20分)
设对于不大于的所有正实数a,如果满足不等式|x-a|<b的一切实数x,也满足不等式
,求实数b的取值范围.
正确答案
解:由题意可得b>0是不用求的,否则|x-a|<b都没解了.
故有-b<x-a<b,即a-b<x<a+b.
由不等式可得,-
<x-a2<
,即 a2-
<x<a2+
.
第二个不等式的范围要大于第一个不等式,这样只要满足了第一个不等式,
肯定满足第二个不等式,命题成立.
故有 a2-≤a-b,且 a+b≤a2+
,0<a≤
.
化简可得 b≤-a2+a+,且b≤a2-a+
.
由于-a2+a+=-
+
∈[
,
],故 b≤
.
由于 a2-a+=
+
∈[
,
].故 b≤
.
综上可得 0<b≤.
解析
解:由题意可得b>0是不用求的,否则|x-a|<b都没解了.
故有-b<x-a<b,即a-b<x<a+b.
由不等式可得,-
<x-a2<
,即 a2-
<x<a2+
.
第二个不等式的范围要大于第一个不等式,这样只要满足了第一个不等式,
肯定满足第二个不等式,命题成立.
故有 a2-≤a-b,且 a+b≤a2+
,0<a≤
.
化简可得 b≤-a2+a+,且b≤a2-a+
.
由于-a2+a+=-
+
∈[
,
],故 b≤
.
由于 a2-a+=
+
∈[
,
].故 b≤
.
综上可得 0<b≤.
(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)
A.(不等式选做题)若关于x的不等式|x+1|+|x-2|≤a有解,则实数a的取值范围是______.
B.(几何证明选做题)如图所示,圆O是△ABC的外接圆,过C点的切线交AB的延长线于点D,,AB=BC=3,则AC长______.
C.(坐标系与参数方程选做题)极坐标系下,直线与圆
的公共点个数是______.
正确答案
[3,+∞)
1
解析
解:A.∵|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,即|x+1|+|x-2|≥3,
由关于x的不等式|x+1|+|x-2|≤a有解,知a≥3,
故答案为[3,+∞).
B.由切割线定理得:DB•DA=DC2,即DB(DB+BA)=DC2,∴DB2+3DB-28=0,得DB=4.
∵∠A=∠BCD,∴△DBC∽△DCA,∴,解得AC=
=
.
故答案为.
C.直线ρcos(θ-)=
即
ρcosθ+
ρsinθ=
,化为直角坐标方程为 x+y-2=0,
圆ρ=2 即 x2+y2=4,圆心到直线的距离等于 =
<2(半径),
故直线和圆相交,故直线和圆有两个交点,
故答案为 2.
关于x的不等式|x-1|-|x-2|≤a2+a-3的解集是空集,则a的取值范围是( )
正确答案
解析
解:设f(x)=|x-1|-|x-2|
当x<1时,f(x)=-(x-1)+(x-2)=-1,
当x>2,f(x)=(x-1)-(x-2)=1,
当1≤x≤2,f(x)=(x-1)+(x-2)=2x-3,故此时有-1≤f(x)=2x-3≤1.
综上所述f(x)=|x-1|-|x-2|的最小值为-1,
要使得关于x的不等式|x-1|-|x-2|≤a2+a+1的解集是空集,
只要使得a2+a+1的最小值小于f(x)=|x-1|-|x-2|的最小值即可.
即a2+a-3≤-1,a2+a-2≤0解得-2≤a≤1,
故答案选择C.
已知p:|1-|≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若¬p是¬q的充分而不必要条件,求实数m的取值范围.
正确答案
解:由x2-2x+1-m2≤0(m>0)得 1-m≤x≤1+m
故¬q:A={x|x<1-m或x>1+m,m>0}
由 ,得-2≤x≤10
故¬p:B={x|x<-2或x>10}
∵¬p是¬q的充分而不必要条件
∴解得 0<m≤3
∴实数m的取值范围 0<m≤3
解析
解:由x2-2x+1-m2≤0(m>0)得 1-m≤x≤1+m
故¬q:A={x|x<1-m或x>1+m,m>0}
由 ,得-2≤x≤10
故¬p:B={x|x<-2或x>10}
∵¬p是¬q的充分而不必要条件
∴解得 0<m≤3
∴实数m的取值范围 0<m≤3
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